《高等数学》课程教学资源：第二章 导数与微分（2.3）高阶导数

第三节高阶导数 一、高阶导数的概念 oo、二、高阶导数的运算法则 ②0∞

第三节 高阶导数 二、高阶导数的运算法则 一、高阶导数的概念

高阶导数的概念 定义.若函数y=f(x)的导数y=f(x)可导则称 ∫(x)的导数为f(x)的〓阶导数,记作y或 d2y即 d y=(y或=d(dy dxi dx dx 类似地,二阶导数的导数称为三阶导数,依次类推 n-1阶导数的导数称为n阶导数,分别记作 或 d y d y d"y d d dxn ②0∞

一、高阶导数的概念 定义. 若函数 y = f (x) 的导数 y  = f (x) 可导, 或 即 y  = ( y ) 或 ) d d ( d d d d 2 2 x y x x y = 类似地 , 二阶导数的导数称为三阶导数 , n −1 阶导数的导数称为 n 阶导数 , 或 的导数为 f (x) 的二阶导数 , 记作 依次类推 , 分别记作 则称

例y=ln(1+x),求 (-1)2 1.2 解:y 1+x 1+ x (n-1) (1+x) 规定0!=1 思考:y=(1-x),(n)_(n-1) ②0∞

例 n ( 1 + x ) 解 : ( n − 1 )! 规定 0 ! = 1 思考 : 求 , 1 1 x y +  = , (1 ) 1 2 x y +  = − , (1 ) 1 2 ( 1) 3 2 x y +  = − = ( n ) y 1 ( 1 ) − − n 

例、设y=sinx,求 解:y=csx=sin(x+2) y=cos(+2)=sin(x+2+2) sin(x+2·2) y”=cos(x+2:2)=sin(x+3.2) 一般地,(sinx) Sin(x+n 类似可证 COS x cos(x+n ②0∞

例、 设 求 解: y  = cos x sin( ) 2  = x + cos( ) 2  y  = x + sin( ) 2 2   = x + + sin( 2 ) 2  = x +  cos( 2 ) 2  y  = x +  sin( 3 ) 2  = x +  一般地 , x = x + n (sin ) sin( ( ) 类似可证: x = x + n (cos ) cos( ( ) ) 2  n  ) 2  n 

二、高阶导数的运算法则 设函数=(x)及v=v(x)都有n阶导数,则 1.(u±v)n=l)± 2.(C)=Cn0)(C为常数) 3.(v) (n)_,(n) n(n-1 uv+nu (n-1) 2 (n-1)…(n-k+1),(n-k),(k) (n) 莱布尼兹 Leibniz)公式 ②0∞

二、高阶导数的运算法则 (C为常数) 2! n(n −1) ! ( 1) ( 1) k n n − n − k + + +   莱布尼兹(Leibniz) 公式 设函数 及 都有 n 阶导数 , 则

(uv)=u'v+uv (uv)=(u'v+uv=u'v+2 u'v'+uv (unv)"="v+3l"v+3v”+n 用数学归纳法可证莱布尼兹公式成立 ②0∞

+ 3u  v  (uv) = u  v + uv  (uv) = (u  v + uv ) = u  v + 2 u  v  + uv  (uv) = u  v + 3u  v  + uv  用数学归纳法可证莱布尼兹公式成立

例、y =x ezr 求 (20) 解:设 则 k)_0k x(k=1,2,…,20) =2x.p"=2 0(=3,…,20) 代入莱布尼兹公式,得 20) 20·19 x2+20.21c2x.2x+ 182x 2 =22e2x(x2+20x+95) ②0∞

例、 求 解: 设 , , 2 2 u e v x x = = 则 k k x u e ( ) 2 = 2 v  = 2x , v  = 2 , 0 ( ) = k v 代入莱布尼兹公式 , 得 = (20) y x e 20 2 2 2  x x e 19 2 + 20 2  2x 2 ! 2019 +  2 x e 18 2 2 ( k =1, 2 ,  , 20 ) (k = 3 ,  , 20)

内容小结 高阶导数的求法 (1)逐阶求导法 (2)利用归纳法 (3)间接法—利用已知的高阶导数公式 如,()0)=(-1) a+x q+x)4n+1 n+1 a-x a-x (4)利用菜布尼兹公式 ②0∞

内容小结 (1) 逐阶求导法 (2) 利用归纳法 (3) 间接法 —— 利用已知的高阶导数公式 (4) 利用莱布尼兹公式 高阶导数的求法 ( ) = + 1 (n) a x 1 ( ) ! ( 1) + + − n n a x n ( ) = − 1 (n) a x 1 ( ) ! + − n a x n 如