重庆大学：《高等数学》第一章 函数与极限（1.9）连续函数的运算与初等函数的连续性

第九节 连续函数的运算与 初等函数的连续性 一、连续函数的和、差、积、商的连续性 二、反函数与复合函数的连续性 三、初等函数的连续性 ②0∞

第九节 连续函数的运算与 初等函数的连续性 一、连续函数的和、差、积、商的连续性 二、反函数与复合函数的连续性 三、初等函数的连续性

连续函数的和、差、积、商的连续性 定理1.在某点连续的有限个函数经有限次和,差,积 商(分母不为0)运算,结果仍是一个在该点连续的函数 例如,sinx,cosx连续 tanx,cotx在其定义域内连续 反函数与复合函数的连续性 定理2.连续单调递增递减)函数的反函数也连续单调 递增(递减) 例如,y=sinx在[2,2]上连续单调递增 其反函数y= arcsinx在[-1,1]上也连续单调递增 ∞

一、连续函数的和、差、积、商的连续性 定理1. 在某点连续的有限个函数经有限次和 , 差 , 积 , 商(分母不为 0) 运算, 结果仍是一个在该点连续的函数 . 在其定义域内连续 例如, 二、反函数与复合函数的连续性 定理2. 连续单调递增 函数的反函数 例如, y = sin x 在 上连续单调递增， 其反函数 y = arcsin x (递减). 在 [－1 , 1] 上也连续单调递增. 递增 (递减) 也连续单调

定理3.连续函数的复合函数是连续的 证:设函数u=0(x)在点x连续,且(x)=o 函数y=f(x)在点4连续,即limf(n)=f(0) 于是 lim f[o(x)]= lim f(u)=f(uo)=flo(xo) x→)x 0 故复合函数f[p(x)在点xo连续 ②0∞

定理3. 连续函数的复合函数是连续的. 证: 设函数 ( ) . 0 u0  x = 于是 lim ( ) 0 f u u→u [ ( )] 0 = f  x 故复合函数 且 即

例 y=sin是由连续函数链 y=sin,∈(-∞,+∞) x∈R 复合而成,因此y=sin在x∈R上连续 X y y=sin ②0∞

例、 是由连续函数链 * xR 因此 在 * 复合而成 xR 上连续 . , x y o x y 1 = sin

三、初等函数的连续性 基本初等函数在定义区间内连续一切初等函数 连续函数经四则运算仍连续 在定义区间内 连续 连续函数的复合函数连续 例如, y=√1-x2的连续区间为[-1,1(端点为单侧连续) y= Insinx的连续区间为(2nx,(2n+1)丌),n∈Z 而y=√co8Sx-1的定义域为x=2n,n∈Z 因此它无连续点 ②0∞

三、初等函数的连续性 基本初等函数在定义区间内连续 连续函数经四则运算仍连续 连续函数的复合函数连续 一切初等函数 在定义区间内 连续 例如, 2 y = 1− x 的连续区间为 (端点为单侧连续) y = lnsin x 的连续区间为 y = cos x −1 的定义域为 因此它无连续点 而

例求1im log,(1+x) x>0 X 解:原式=lmbg,(+x)2=1gne=1 例4 na 求 lim(1+2x)sinx >0 解:原式=1imen(n+2x) lime+. 2x 0 x->0 说明:若lim(x)=0,limv(x)=∞,则有 x->x0 x→x lim v(x)In 1+u(x) m[1+(x)])=eo x→>x0 lim v(x)u(r) ②0∞

例 求 解 : 原式 例4. 求解: 原式 ln( 1 2 ) sin3 x x + 说明 : 若 lim ( ) 0, 0 = → u x x x 则有  +  = → ( ) lim 1 ( ) 0 v x x x u x lim ( ) , 0 =  → v x x x e = e lim ( ) ( ) 0 v x u x x → x x3  2 x

内容小结 基本初等函数在定义区间内连续 连续函数的四则运算的结果连续 初等函数在 定义区间内 连续函数的反函数连续 连续 连续函数的复合函数连续 说明:分段函数在界点处是否连续需讨论其 左、右连续性 ②0∞

内容小结 基本初等函数在定义区间内连续 连续函数的四则运算的结果连续 连续函数的反函数连续 连续函数的复合函数连续 初等函数在 定义区间内 连续 说明: 分段函数在界点处是否连续需讨论其 左、右连续性