重庆大学数理学院：《高等数学》课程教学资源（PPT课件）第八章 多元函数微分法及其应用（吴新生）

高数课件 ●● 重庆大学数理学院 教师吴新生

高数课件 重庆大学数理学院 教师 吴新生

第八章 多元函数微分法及其应用 ●● 7吖

第八章 多元函数微分法及其应用 开 始 退出

第一节多元函数的基本概念 第二节偏导数 ●● 第三节全微分 第六节微分法在几何上的应用 第四节多元复合函数的求导法则 第七节方向导数与梯度 第五节隐函数的求导公式 第八节多元函数的极值及其求法 总习題

第一节 多元函数的基本概念 返 回 第二节 偏导数 第四节 多元复合函数的求导法则 第五节 隐函数的求导公式 第六节 微分法在几何上的应用 第八节 多元函数的极值及其求法 第七节 方向导数与梯度 第三节 全微分 总习题

螺 第一节多元函数的基本概念 区域 多元函数概念 三.多元函数的极限 四.多元函数的连续性 习题

返 回 一.区域 三.多元函数的极限 四.多元函数的连续性 二.多元函数概念 第一节 多元函数的基本概念 习题

第一节多元函数的基本概念 区域 邻域 B(xoy)是xO 正数与点P(x,y)距离小于δ的点Pxy)的全体 称为的邻域,记为U(,δ,即 U(,6)={P|PPk} 也就是 U(2,)={(x,y)√(x-x)2+(y-y)2<o}

第一节 多元函数的基本概念 一、区域 1.邻域 设 是xOy平面上的一个点，δ是某一 正数.与点 距离小于δ的点 的全体 称为 的邻域，记为 ，即 也就是 返 回 0 0 0 P (x , y ) 0 0 0 P (x , y ) P(x, y) P0 0 U(P , ) 0 0 U (P , )  {P PP   } 2 2 0 0 0 U (P , )  {(x, y) (x  x )  ( y  y )   } 下一页

2.区域 设E是平面上的一个点集,P是平面上的一个 点如果存在点P的某一邻域U(P)使U(P)cE, 则称P为E的内点(图8-1) 如果点集E的点都是内点,则 称E为开集. 如果点P的任一邻域內既有属 于E的点,也有不属于E的点, E 则称P为E的边界点(图8-2) 设D是开集.如果对于D内的 图8-1任何两点,都可用折线连结起

2.区域 设E是平面上的一个点集，P是平面上的一个 点.如果存在点P的某一邻域 使 ， 则称P为E的内点(图8-1). 如果点集E的点都是内点，则 称E为开集. 如果点P的任一邻域内既有属 P 于E的点，也有不属于E的点， E 则称P为E的边界点（图8-2）. 设D是开集.如果对于D内的 图 8-1 任何两点，都可用折线连结起 上一页 下一页 U (P) U (P)  E 返 回

来,而且该折线上的点都属于D, P则称开集D是连通的 连通的开集称为区域或开区域 E 开区域连同它的边界一起,称 为闭区域. 图8-2 3.n维空间 设n为取定的一个自然数,我们称有序n元数组 (x1,x2…,xn)的全体为n维空间而每个有序n元数 组(x,x2…x)称为n维空间中的一个点,数x称

来,而且该折线上的点都属于D, P 则称开集D是连通的. 连通的开集称为区域或开区域. E 开区域连同它的边界一起,称 为闭区域. 图 8-2 3.n维空间 设n为取定的一个自然数,我们称有序n元数组 的全体为n维空间,而每个有序n元数 组 称为n维空间中的一个点,数 称 1 2 ( , , , ) n x x  x 1 2 ( , , , ) n x x  x i x 上一页 下一页 返 回

三2为该点的第个坐标n维空间记为R n维空间中两点P(x,x2…,x)及Q(n,y2…y)间 的距离规定为 PQ=(1-x)2+(y2-x2)2+…+(yn-x)2 ●● 圆國圖回

为该点的第i个坐标,n维空间记为 . n维空间中两点 及 间 的距离规定为 n  1 2 ( , , , ) P n x x  x 1 2 ( , , , ) Q n y y  y 2 2 2 1 1 2 2 ( ) ( ) ( ) PQ n n  y  x  y  x  y  x 上一页 下一页 返 回

二、多元函数概念 例题 定义1设D是平面上的一个点集如果对于 每个点P=(x,y)∈D变量z按照一定法则总有确 定的值和它对应,则称z是变量x、y的二元函数 →(或点P的函数),记为 z=f(x,y)或z=f(P) ●点集D称为该函数的定义域,x、y称为自变量,z 圆國圖回

二、多元函数概念 定义1 设D是平面上的一个点集.如果对于 每个点P=(x,y)∈D,变量z按照一定法则总有确 定的值和它对应,则称z是变量x、y的二元函数 (或点P的函数),记为 点集D称为该函数的定义域,x、y称为自变量,z z  f ( x , y )或 z  f ( P ) 例题 上一页 下一页 返 回

三:也称为因变量,数集 {z|z=f(xy)x,y)∈D 称为该函数的值域 把定义1中的平面点集D换成n维空间内的点集 D.则可类似的定义n元函数u=372时元 当 n=1时,n元函数就是一元函数当n 数统称为多元函数 圆國圖回

也称为因变量,数集 称为该函数的值域. 把定义1中的平面点集D换成n维空间内的点集 D.则可类似的定义n元函数 .当 n=1时，n元函数就是一元函数.当n≥2时n元函 数统称为多元函数. {z z  f (x, y),(x, y) D} 1 2 ( , , , ) n u  f x x  x 上一页 下一页 返 回