《高等数学》课程教学资源：第二章 导数与微分（2.4）隐函数

第四节隐函数及由参数方程 所确定的函数的导数 相关变化率 隐函数的导数 二、由参数方程确定的函数的导数 三、相关变化率 ②0∞

第四节 隐函数 所确定的函数的导数 及由参数方程 相关变化率 一、隐函数的导数 二、由参数方程确定的函数的导数 三、相关变化率

隐函数的导数 若由方程F(x,y)=0可确定y是x的函数,则称此 函数为隐函数 由y=f(x)表示的函数,称为显函数 例如,x-y3-1=0可确定显函数y=3 y3+2y-x-3x7=0可确定y是x的函数, 但此隐函数不能显化 隐函数求导方法:F(x,y)=0 两边对x求导 d F(x,y)=0(含导数y的方程 dx ②0∞

一、隐函数的导数 若由方程 可确定 y 是 x 的函数 , 由 表示的函数 , 称为显函数 . 例如, 可确定显函数 可确定 y 是 x 的函数 , 但此隐函数不能显化 . 函数为隐函数 . 则称此 隐函数求导方法: 两边对 x 求导 (含导数 y 的方程)

例1、求由方程y3+2y-x-3x7=0确定的隐函数 y=y(x)在x=0处的导数 dy dxx=o 解:方程两边对x求导 d dx(y)+2y-x-3x)=0 d d 得5 +2-1-21x0=0 dx dx dy 1+21x6 4 y+2 dy 因x=0时y=0,故 dxx=0 2 ②0∞

例1、求由方程 在 x = 0 处的导数 解: 方程两边对 x 求导 得 x y y d d 5 4 x y d d + 2 −1 6 − 21x = 0 5 2 1 21 d d 4 6 + +  = y x x y 因 x = 0 时 y = 0 , 故 确定的隐函数

例2.求椭圆+=1在点(2,3)处的切线方程 169 解:椭圆方程两边对x求导 +yy=0 89 =3316yy=33 故切线方程为 3 即 √3x+4y-83=0 ②0∞

例2. 求椭圆 在点 处的切线方程. 解: 椭圆方程两边对 x 求导 8 x + y  y  9 2 = 0  y  2 3 2 3 = = x y y x 16 9 = − 2 3 2 3 = = x y 4 3 = − 故切线方程为 3 2 3 y − 4 3 = − (x − 2) 即

例3、求y=xx(x>0)的导数 解:两边取对数,化为隐式 In y=sinx Inx 两边对x求导 SIn x y=cosx·lnx+ sin x Sinx coSx·nx+ ②0∞

例3、 求 的导数 . 解: 两边取对数 , 化为隐式 两边对 x 求导 y y  1 = cos x ln x x sin x + ) sin (cos ln sin x x y x x x x   =  +

说明: 对幂指函数y=可用对数求导法求导 In y=vInu u v y'=vInu y=l'(v'n≠4N 注意 v=ulu. y+vu 按指数函数求导公式按幂函数求导公式 ②0∞

说明: 1) 对幂指函数 v y = u 可用对数求导法求导 : ln y = v lnu y y  1 = v lnu u u  v + ( ln ) u u v y u v u v   =  + y u u v v  = ln   vu u v +   −1 按指数函数求导公式 按幂函数求导公式 注意:

2)有些显函数用对数求导法求导很方便 例如, b(x b (a>0,b>0,≠1) b b 两边取对数 In y=xIn+alInb-Inx+blInx-Ina b 两边对x求导 a(b 0×今 b b x b b八(x八(a b ②0∞

2) 有些显函数用对数求导法求导很方便 例如, 两边取对数 ln y = 两边对 x 求导 =  y y b a ln x a − x b + + b a x ln a[lnb − ln x ]+b[ln x − ln a]

又如,y=(x=1x-2) V(x-3)(x-4) 两边取对数 (m)=2 In y=[ x-1+In x-2-In - x-4 1 对x求导 1x-2x-3 4 1(x=Xx-2)r1 2V(x-3)x-4)1x-1x-2x-3x-4

又如, ( 3)( 4) ( 1)( 2) − − − − = x x x x y u u u  (ln ) =  2 1 ln y = 对 x 求导  2 1 =  y y   4 1 3 1 2 1 1 1 − − − − − + x − x x x 两边取对数 ln x −1 + ln x − 2 − ln x − 3 − ln x − 4  + −1 1 x 2 1 x − 3 1 − − x  4 1 − − x

二、由参数方程确定的函数的导数 若参数方程{x=( y=v() 可确定一个y与x之间的函数 关系9(1),W()可导且[q(O2+v()2≠0,则 (t)≠0时,有 dy dy dt dy 1 v'(t dx dt dx dt dx '(t) V()≠0时有 dt dx dx dt dx 1 dy dt dy dt dy y'(t (此时看成x是y的函数)d ②0∞

若参数方程 可确定一个 y 与 x 之间的函数 可导, 且 则 (t)  0 时, 有 = x y d d x t t y d d d d  t t x y d d 1 d d =  ( ) ( ) t t     = (t)  0 时, 有 = y x d d y t t x d d d d  t t y x d d 1 d d =  ( ) ( ) t t     = (此时看成 x 是 y 的函数 ) 关系, 二、由参数方程确定的函数的导数

若上述参数方程中(t),v()二阶可导且q()≠0 则由它确定的函数y=f(x)可求二阶导数 x=0( 利用新的参数方程{dyv()可得 dx o'(t) d y d dy- d dy: d dt dx dt y(to(t)-y'(to(t) o'(t) y(to(t-y(to(t jx-iy q”(t) ②0∞

若上述参数方程中 二阶可导, = 2 2 d d x y ) d d ( d d x y x = ( ) 2  t (t)(t)−(t)(t) (t) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 3 t t t t t         −   = 3 x yx xy   −  = ) d d ( d d x y t = t x d d ( ) ( ) d d t t x y     = x =(t) 且 则由它确定的函数 可求二阶导数 . 利用新的参数方程 ,可得