重庆大学：《高等数学》第一章 函数与极限（1.6）极限存在准则

第六节极限存在准则 两个重要极限 一、极限存在准则 二、两个重要极限 ②0∞

第六节 极限存在准则 两个重要极限 二、 两个重要极限 一、极限存在准则

极限存在准则 (一)夹逼准则 1、(1)yn (n=1,2 lim.=a (2)lim yn= lim C n→0 n→0 证:由条件(2),VE>0,彐N1,N2, 当n>N1时,yn-aN2时,2n-aN时,有 a-e<yn<a+8, a-8<En<ate 由条件(1)a-E<yn≤xn≤En<a+E 即xn-a<E,故 lim x=a ②0∞

一、极限存在准则 y zn a n n n = = → → (2) lim lim （一） 夹逼准则 (1) y  x  z ( n =1, 2, ) n n n xn a n = → lim 证:由条件 (2) ,   0, , N1 当 时, 当 时, 令 max , , N = N1 N2 则当 n  N 时, 有 由条件 (1) n n n a −  y  x  z  a + 即 x − a   , n 故 lim x a . n n = → , N2 1

2、 如果(1)当x∈(xn2r)(或|x>M)时 g(x)≤f(x)≤h(x) (2)lim g(x)=A, lim h(x)=A -x 那么lmf(x)存在,且等于A x→0 ②0∞

2、 (1)当x(x0 ,r)(或| x | M)时 g(x)  f (x)  h(x) 如果 lim g(x) A, lim h(x) A, 0 0 x x x x = = → → (x → ) （2） (x → ) lim f (x) 0 x→x (x → ) 那么 存在，且等于A

例、证明lmn ∴ n>0(n2+丌n2+2 n2 n丌 证:利用夹逼准则由 ∴ n-+n丌 n2+mn2+2丌 n+n)n-+兀 且 lim2 lim n->0H+n丌 n→>∞1+ Im n->01-+丌 x2 n→>∞1+ lim n ∴ n)0Qn2+n2+2丌 n+n7 ②0∞

例、证明 证: 利用夹逼准则 .       + + + + + n + n  n n n 2 2 2 1 2 1 1  +  2 2 n n 且 → + 2 2 lim n n n 2 1 1 lim n n  + = → =1 n n→  lim       + + + + + n + n  n n 2 2 2 1 2 1 1  =1 由

二、单调有界数列必有极限 M lim x=a(≤M) x单调增加 XX C nn ≥x)≥…≥xn≥ n+1 ≥m b(≥m) m b x单调减少 证明略)

二、 单调有界数列必有极限 lim x a ( M ) n n =  → lim x b ( m ) n n =  → ( 证明略 ) a 单调增加 b 单调减少

例、设x=(1+1)”(m=1,2,…)证明数列{xn} 极限存在 证:利用二项式公式,有 (1+) 1n(n-1)1,n(n-1)(n-2) 1+1n + 2 3! n(n-1)·(n-n+1)1 1+1+2(1-n)+3(1-n)(1-2)+ ●非 (1-1)(1-2)…(1-n ②0∞

例、设 证明数列 极限存在 . 证: 利用二项式公式 , 有 n n n x (1 ) 1 = + =1+ n n 1 1! 2 1 2! ( 1) n n n− + 3 1 3! ( 1)( 2) n n n− n− + + n n n n n n n 1 ! ( −1) ( − +1) +  =1+1+ (1 ) 1 ! 1 n n + − (1 ) 2 n − (1 ) 1 n n−  − (1 ) 1 2! 1 n − (1 1 ) + 3! 1 n + − (1 ) 2 n −

=1+1+(1 (1-1)(1-2) (1-1)(1-2) (1-n1) xn=1+1+21(1-n1)+1(1 )+ n+ n n+ 大 大 +(+n1(1-1(1-2)…(1-m 正 比较可知xn<xm+(n=12,…) 又xn=(1+ 1y<1+1+2!+3 ②0∞

x n = 1 + 1 + ( 1 ) 1 !1n n + − ( 1 ) 2n − ( 1 ) 1 n n −  − ( 1 ) 1 2!1 n − ( 1 1 ) +  3!1 n + − ( 1 ) 2n − x n + 1 = 1 + 1 + ( 1 ) 1 1 2!1 + − n (1 )(1 )12 11 3!1 + + + − − n n +  (1 )(1 ) (1 ) 1 1 2 11 ( 1)! 1+ + + + + − − − nn n n n  大 大 正 ( 1, 2, ) xn  xn+1 n =  = (1+ ) 1+1+ 1 n n n 又 x 比较可知

又 (1+1) e为无理数,其值为 e=2.718281828459045 ②0∞

根据准则 2 可知数列 xn 记此极限为 e , e n n n + = → lim(1 ) 1 e 为无理数 , 其值为 e = 2.718281828459045 即 有极限 . = (1+ ) 1+1+ 1 n n n x 1+1+ 又  3 1 2 1 3 − = − n

*3.柯西极限存在准则(柯西审敛原理) 数列{xn}极限存在的充要条件是 E>0,存在正整数N,使当m>N,n>N时 有 xn-xm0,3N,使当 n→ m>N,n>N时,有 Xn-a<e2 a< 因此 ≤xn-a|+|xm-a<E 充分性”证明从略 ②0∞

*3. 柯西极限存在准则(柯西审敛原理) 数列 极限存在的充要条件是:   0, 存在正整数 N , 使当 m  N , n  N 时, − m   n x x 证: “必要性”.设 lim x a, n n = → 则 时, 有 使当 , 2 −   xn a 2 −   xm a 因此 xn − xm =  xn − a + xm − a   “充分性” 证明从略 . 有

二、两个重要极限 B D SInx 1. lim x->0y O A 证:当x∈(0,3)时 △AOB的面积<圆扇形AOB的面积<△AOD的面积 即 sinx <x<i tan x X 故有 0<x<z) sin r cosr 显然有 cos r<sinx <1(0<x<2) 1 im cos=1注 Sin x Im x-)0 x-)0Y ②0∞

二、 两个重要极限 1 sin cos   x x x 圆扇形AOB的面积 证: 当 即 sin x  2 1 tan x 2 1  亦即 sin tan (0 ) 2  x  x  x  x  (0, ) 2   x 时， (0 ) 2  显然有  x  △AOB 的面积＜ ＜△AOD的面积 D C B A x 1 o 故有 注