重庆大学：《高等数学》第一章 函数与极限（1.7）无穷小的比较

第七节无穷小的比较 引例.x→0时,3x,x2,sinx都是无穷小,但 X sIn x Im 0 m x→>03x x->03x3 sin x lim OO x→>0 可见无穷小趋于0的速度是多样的

第七节 无穷小的比较 x → 0时, 3x, x ,sin x 引例 . 2 都是无穷小, x x x 3 lim 2 →0 = 0, 2 0 sin lim x x x→ = , x x x 3 sin lim →0 , 3 1 = 但 可见无穷小趋于 0 的速度是多样的

定义.设a,B是自变量同一变化过程中的无穷小 若lim=0,则称B是比a高阶的无穷小,记作 B=o(a 若lm=∞,则称是比a低阶的无穷小 若in=C≠0,则称/是a的同阶无穷小 若limb=C≠0,则称是关于a的k阶无穷小 若1∠1,则称是a的等价无穷小记作a~B 或Ba ∞

定义. lim = C  0, k   lim = 0,  若  则称  是比  高阶的无穷小,  = o() lim = ,   若 若 若 lim =1,   若  ~  ~  lim = C  0,   或 设  ,  是自变量同一变化过程中的无穷小, 记作 则称  是比  低阶的无穷小; 则称  是  的同阶无穷小; 则称  是关于  的 k 阶无穷小; 则称  是  的等价无穷小, 记作

例1、证明当x→0时,/1+x-1~-x 证:lim /1+x-1 1-nb (a-b)(an+an-b+…+b) lim (/+x)2-1 0x[(1+xy1+(1+x)”2+…+1 当x→>0时,1+x-1~x

例1、证明: 当 时, ～ 证: ～ − = n n a b (a −b) 1 ( n− a a b n−2 + ) −1 + + n  b

定理1、a~B,B=a+o(a 证:~β lim =1 ←lim(2-1)=0,即lim B-a 0 B-a=0(a),即B=a+0(a) 例如,x→>0时,Sinx~x,tanx~x,故 x→>0时,sinx=x+o(x),tanx=x+o(x)

定理 1 、 ～ ～  =  + o () 证 : lim = 1  lim( − 1 ) = 0,  lim = 0 −   即  −  = o (), 即  =  + o () 例如 , x → 0 时, ～ tan x ～ x, 故 x → 0 时, tan x = x + o(x)

定理2、设a~c',B~f,且lim,存在,则 B Im lim C 证:im=lin/BBa C B C B lim m lim Im C tan 2x 例如,1im x→0sin5xx-05x5 说明:设对同一变化过程,a,B为无穷小,由等价 无穷小的性质,可得简化某些极限运算的下述规则

定理2 、设 且 存在 , 则   lim 证:   lim        =   lim          = lim     lim   lim     = lim 例如, x x x sin 5 tan 2 lim →0 x x x 5 2 lim →0 = 5 2 = 说明: 设对同一变化过程 ,  ,  为无穷小 , 无穷小的性质, 由等价 可得简化某些极限运算的下述规则

例2 1+x 求lim x-0 COS x-1 解:当x→>0时, cOSx-l 原式=lim 2 x->0 3

例2. 求 . cos 1 (1 ) 1 lim 3 1 2 0 − + − → x x x 解:

内容小结 1.无穷小的比较 设a,B对同一自变量的变化过程为无穷小,且a≠0 0 β是a的高阶无穷小 B β是a的低阶无穷小 m aC(≠0),B是a的同阶无穷小 β是a的等价无穷小 lim B =C≠0 β是a的k阶无穷小 C

内容小结   0 1. 无穷小的比较 设  ,  对同一自变量的变化过程为无穷小, 且  是  的高阶无穷小  是  的低阶无穷小  是  的同阶无穷小  是  的等价无穷小  是  的 k 阶无穷小