重庆大学：《高等数学》第一章 函数与极限（1.5）极限的运算法则

第五节极限运算法则 一、无穷小运算法则 二、极限的四则运算法则 三、复合函数的极限运算法则 ②0∞

第五节 极限运算法则 二、 极限的四则运算法则 三、 复合函数的极限运算法则 一 、无穷小运算法则

无穷小运算法则 定理1有限个无穷小的和还是无穷小 证:考虑两个无穷小的和.设lima=0,limB=0, r-x x→>x0 VE>0,31>0,当00,当0<x-x0<82时,有<2 取δ=min{1,82,则当0<x-x0<6时有 a+B≤a+B<2+2=6因此 im(a+B)=0.这说明当x→x时,a+为无穷小量 类似可证:有限个无穷小之和仍为无穷小

一、 无穷小运算法则  = min 1 ,  2 , 时, 有 定理1. 有限个无穷小的和还是无穷小 . 证: 考虑两个无穷小的和 . 设   0, 当 时 , 有 当 时 , 有 取 则当 0  x − x0    +    +  2 2    + =  因此 这说明当 时, 为无穷小量 . 类似可证: 有限个无穷小之和仍为无穷小

定理2.有界函数与无穷小的乘积是无穷小 证:设x∈U(xo,61),l≤M 又设lma=0,即VE>0,彐2>0,当x∈U(xo,62) 时有a≤取δ=min{61,o2 则当x∈∪(xo,O)时,就有= ulas m,=E 故liml=0,即a是x>x时的无穷小 x→x 推论1.常数与无穷小的乘积是无穷小 推论2.有限个无穷小的乘积是无穷小 ②0∞

定理2 . 有界函数与无穷小的乘积是无穷小 证: 设 u  M 又设 lim 0, 0 = →  x x 即   0, 当 时, 有 M    取 min , ,  =  1  2 则当 ( , ) x x0    时 , 就有 u = u      = M M 故 即 是 时的无穷小 . 推论 1 . 常数与无穷小的乘积是无穷小 . 推论 2 . 有限个无穷小的乘积是无穷小

例1 nr 求lim X 解::|sinx≤1 Im 0 x→>00x 利用定理2可知i3x=0 x→>00 sInx 说明:y=0是y 的渐近线 X ②0∞

例1、 求 解: 0 1 lim = x→ x 利用定理 2 可知 说明 : y = 0 是 的渐近线 . x x y sin =

二、极限的四则运算法则 定理3、若lmf(x)=A,img(x)=B,则有 1、lim[f(x)±g(x)]=limf(x)±limg(x)=A±B 2 lim[f(x)g(x)]= limf(x)lim g(x)=AB 3、mimf(x)=im(x)=4 g(x) lim g(x) B ②0∞

二、 极限的四则运算法则 定理 3 、若 lim f (x) = A, limg(x) = B , 则有 1、 2、 3

让1 因imf(x)=A,limg(x)=B,则有 f(x=A+a, g(x)=b+B (其中a,B为无穷小) 于是f(x)±g(x)=(A+a)±(B+B) =(AB)+(a+B) 由定理1可知±B也是无穷小,再利用极限与无穷小 的关系定理,知定理结论成立 证明2略 ②0∞

证1、 因 lim f (x) = A, limg(x) = B , 则有 f (x) = A+ , g(x) = B +  (其中  ,  为无穷小) 于是 f (x)  g(x) = (A+ )  (B +  ) = (A B) + (   ) 由定理 1 可知    也是无穷小, 再利用极限与无穷小 的关系定理 , 知定理结论成立 . 证明2略

3 因limf(x)=A,limg(x)=B,有 f(x)=A+a,g(x)=B+β,其中a,B为无穷小 设 f(x)AA+a A (Ba-AB g(x)BB+BBB(B+B)无穷小 有界 因此y为无次,J(x)A 8(x)B tr 由极限与无穷小关系定理,得nf(x)_A_limf(x) g(x)b ling(r) ②0∞

证3、 为无穷小 (详见P44) B 2  B +  1 ( ) 1 g x = ( ) 0 x x   因 lim f (x) = A, limg(x) = B , 有 f (x) = A+ , g(x) = B +  , 其中  ,  设 B A B A − + + =   ( ) 1 +  = B B (B − A) 无穷小 有界 因此  由极限与无穷小关系定理 , 得 = + B A g x f x ( ) ( ) 为无穷小

定理三中的1、2、可以推广到有限个函数的 情形 (1) lim[f(x)+g(x)h(x)=limf()+ling (x)-limh(x), (2) mLf(x)·g(x)·(x)]=limf(x)limg(x)limh(x) 推论1.lim[Cf(x)= Clim f(x)(C为常数) 推论2.lim[f(x)=[imf(x)]”(n为正整数) ②0∞

定理三中的1、2、可以推广到有限个函数的 lim[ f (x) + g(x) − h(x)] = limf (x) +limg(x) −limh(x), lim[ f (x) g(x)h(x)] = limf (x)limg(x)limh(x), （1） （2） 推论 1 . lim[C f (x)] = Clim f (x) ( C 为常数 ) 推论 2 . n n lim[ f (x)] = [lim f (x)] ( n 为正整数 ) 情形

定理4、 若 A, lim y=B,则有 n→)0 (1)lim(xn+yn)=A±B n→> (2)lim xiN= AB n→0 )当20且B≠0时,m y B 提示:因为数列是一种特殊的函数,故此定理可由 定理3,4,5直接得出结论 ②0∞

若 lim x A, lim y B , n n n n = = → → 则有 (1) lim( ) n n n x  y → n n n x y → (2) lim (3) 当y  0且B  0时, n B A y x n n n = → lim = A B = AB 提示: 因为数列是一种特殊的函数 , 故此定理 可由 定理3 , 4 , 5 直接得出结论 . 定理4

例2 设有分式函数R()=2(x) Q(x) 其中P(x),Q(x) 都是 多项式,若Q(x0)≠0,试证:1iR(x)=R(x0) x→ im P(x) 证:limR(x)= x→>x0 P(x0) R(x0) lim O(x)2(o) 说明:若Q(x)=0,不能直接用商的运算法则 ②0∞

例2、 设有分式函数 其中 都是 多项式 , 试证: 证: = → lim ( ) 0 R x x x lim ( ) lim ( ) 0 0 Q x P x x x x x → → 说明: 若 不能直接用商的运算法则 . 若