《高等数学》课程教学资源：积分表的使用

第五节积分表的使用 关于积分表的说明 四二、例题

庄-、关于积分表的说明 上(1)常用积分公式汇集成的表称为积分表 (2)积分表是按照被积函数的类型来排列的 (3)求积分时,可根据被积函数的类型直接 或经过简单变形后,查得所需结果 王()积分表见《高等数学》(四版)上册 (同济大学数学教研室主编)第452页 上页

（1）常用积分公式汇集成的表称为积分表. （2）积分表是按照被积函数的类型来排列的. （4）积分表见《高等数学》（四版）上册 （同济大学数学教研室主编）第452页． （3）求积分时，可根据被积函数的类型直接 或经过简单变形后，查得所需结果. 一、关于积分表的说明

、例题 例1求 dx.被积函数中含有ax+b (3x+4) 在积分表(一)中查得公式(7) (ax+dxa b ee In lax+b|+ +C ax+ b 现在a=3,b=4于是 rdx=oi ln 3x+4|+ (3x+4) +0 9 3x+4 王页下

例1 求 . (3 4) 2 d x x x  + 被积函数中含有 ax+ b 在积分表（一）中查得公式（7） ( ) C a x b b a x b a d x a x b x +       + = + + +  ln | | 1 2 2 现在 a = 3, b = 4 于是 ( ) . 3 4 4 ln | 3 4 | 9 1 3 4 2 C x d x x x x +       + = + + +  二、例题

例2求 5-4cos x dx.被积函数中含有三角函数 在积分表(十一)中查得此类公式有两个 a=5,b=-4a2>b2选公式(105) dx 2 a+b a-b = arcot- +C a+bcosx a+ba-b a+b当 将a=5,b=-4代入得 2 dx==arcot 3 tan +C. 5-4cosx 3 2 上页

例2 求 . 5 4cos 1 d x x  − 被积函数中含有三角函数 在积分表（十一）中查得此类公式有两个 2 2 a = 5, b = −4 a  b 选公式（105） 将 a = 5, b = −4 代入得  a + b x d x cos C x a b a b a b a b a b  +      + − − + + = 2 cot tan 2 ar d x x  5 − 4cos 1 . 2 cot 3 tan 3 2 C x  +      = ar

dx 例3求∫ x√4x 2 +9 表中不能直接查出,需先进行变量代换. 令2x=→√4x2+9=a2+32 d -du du = 2 x√4x2+9u 3 2 Nu2+3 2 被积函数中含有√2+32 上页

例3 求 . 4 9 2  x x + d x 表中不能直接查出, 需先进行变量代换. 令 2x = u 2 2 2  4x + 9 = u + 3  4 + 9 2 x x d x  + = 2 2 3 2 2 1 u u d u  + = 2 2 u u 3 d u 被积函数中含有 3 , 2 2 u +

在积分表(六)中查得公式(37) dx =n +C 2 x√x+aaa+√x2+a du u =In +c n√u2+3233+√u2+32 工工工 将u=2x代入得 d =In 2|x +C x√4x2+933+√4x2+9 上页

在积分表（六）中查得公式（37）  + 2 2 x x a d x C a x a x a + + + = 2 2 | | ln 1  +  2 2 u u 3 d u C u u + + + = 2 2 3 3 | | ln 3 1 将 u = 2x 代入得  4 + 9 2 x x d x . 3 4 9 2 | | ln 3 1 2 C x x + + + =

例4求∫snxd 在积分表(十一)中查得公式(95) sindy sin" rcosx n-1 n-2 SIn xdx n 午利用此公式可使正弦的幂次减少两次,重复使 工工工 用可使正弦的幂次继续减少,直到求出结果这 个公式叫递推公式 现在n=4于是 上页

例4 求 sin . 4  xdx 在积分表（十一）中查得公式（95） xdx n  sin  − − − = − + xdx n n n x x n n 2 1 sin sin cos 1 利用此公式可使正弦的幂次减少两次, 重复使 用可使正弦的幂次继续减少, 直到求出结果. 这 个公式叫递推公式. 现在 n = 4 于是

sin xcos x 3 sin xdx + xdx 对积分∫sin2xdx使用公式(93) sin xdx= sin 2x+c 24 4 SIncos SIn dx= x3(x- sin 2x +C 24 上页

xdx  4 sin  = − + xdx x x 2 3 sin 4 3 4 sin cos  xdx 2 对积分 sin 使用公式（93）  xdx 2 sin x C x = − sin 2 + 4 1 2 xdx   4 sin 4 3 4 sin cos 3 = − + x x sin 2 . 4 1 2 x C x  +      −

说明初等函数在其定义域内原函数一定存在, 但原函数不一定都是初等函数 例/2,门,了k 上页

说明 初等函数在其定义域内原函数一定存在， 但原函数不一定都是初等函数. 例 , 2  − e dx x  , sin dx x x . ln 1  d x x

练习题 利用积分表计算下列不定积分: 2.|√2x2+9x. 2 4x2-9 3. x arcsindx 4.e sin 3xdx 2 6 x2(1-x) xvr 1 7.|x2√x2-2dx 8. dx 1+x 上页

练 习 题 . 1 1 7. 2 . 8. . 1 1 . 6. (1 ) 1 5. . 4. sin 3 . 2 3. arcsin . 2. 2 9 . 4 9 1. : 2 2 2 2 2 2 2         + − − − − + − − d x x x x x d x d x x x d x x x d x e xdx x x x d x x d x x 利用积分表计算下列不 定积分