《高等数学》课程教学资源：定积分的元素法

第一节定积分的元素法 巴一、问题的提出 二、小结思考题

庄=、问题的提出 回顾曲边梯形求面积的问题 曲边梯形由连续曲线 y=f(r) y=/(x)(/(x)≥0) x轴与两条直线 = x= b o a 所围成 bx A=f()dx 上页

回顾 曲边梯形求面积的问题  = b a A f (x)dx 一、问题的提出 曲 边 梯 形 由 连 续 曲 线 y = f ( x )( f ( x)  0) 、 x 轴与两条直线x = a 、 x = b 所围成。 a b x y o y = f (x)

面积表示为定积分的步骤如下 c(1)把区间a,b成个长度为△x的小区间 相应的曲边梯形被丹为个小窄曲边梯形,第 小窄曲边梯形的面积为41,则4=∑441 (2)计第△41的近似值 △4;≈∫(5)Ax;5;∈△1 王(3)求和,得的近似值A=∑(5)△ 王页下

面积表示为定积分的步骤如下 （1）把区间[a, b]分 成n 个长度为 i x 的小区间， 相应的曲边梯形被分为n 个小窄曲边梯形，第i 小窄曲边梯形的面积为Ai ， 则  = =  n i A Ai 1 . （2）计算Ai 的近似值 i i i A  f ( )x i i   x （3） 求和，得A的近似值 ( ) . 1 i i n i A   f x = 

(4)求极限,得A的精确值 A=im∑f(452)M=f(x)h面 积 元 提示若用△A表示任一小区间 素 1x,x+△上的窄曲边梯形的面积,y 庄则4=∑△A,并取△A≈/(x yf(x) 于是4≈∑∫(x)dt a xx+abx 王4=m∑/rp/k 上页

a b x y o y = f (x) （4） 求极限，得A的精确值 i i n i A =  f x = → lim ( ) 1 0    = b a f ( x)dx 提示 若 用A 表示任一小区间 [ x, x + x]上的窄曲边梯形的面积， 则 A =  A ，并取A  f ( x)d x ， 于 是A   f ( x )dx A= lim f (x)dx ( ) .  = b a f x d x x x + dx dA 面 积 元 素

庄当所求量/符合下列条件 (1)U是与一个变量的变化区间a,b]有关 的量; (2)U对于区间[a,b]具有可加性,就是说, 如果把区间[a,6分成许多部分区间,相 应地分成许多部分量,而等于所有部分量之 和; 王(3)部分量△U1的近似值可表示为(5)A 牛就可以考虑用定积分来表这个量 上页

当所求量U 符合下列条件： （1）U 是与一个变量x 的变化区间a , b 有 关 的量； （2）U 对于区间a , b 具有可加性，就是说， 如果把区间a , b 分成许多部分区间，则U 相 应地分成许多部分量，而U 等于所有部分量之 和 ； （3）部分量Ui的近似值可表示为 i i f ( )x ； 就可以考虑用定积分来表达这个量U

元素法的一般步骤 1)根据问题的具体情况,选取一个变量例如为 积分变量,并确定它的变化区间a,b; 压2)设想把区间成个小区间,取其中任 公间的部分量的近似值如集能近似地示 的乘积,就把f(x)dx称为量的元素且记作 du=f(rdx 上页

元素法的一般步骤： 1）根据问题的具体情况，选取一个变量例如x 为 积分变量，并确定它的变化区间[a,b] ； 2）设想把区间[a, b]分 成n 个小区间，取其中任 一小区间并记为[ x, x + d x] ，求出相应于这小区 间的部分量U 的近似值.如 果U 能近似地表示 为[a, b]上的一个连续函数在x 处的值f ( x) 与 dx 的乘积，就把 f ( x )d x 称为量 U dU 的元素且记作 ， 即d U = f ( x)d x ；

3)以所求量的元素∫(x)dx为被积表达式,在 b 区间a,b上作定积分,得U=f(x)a, 即为所求量的积分表达式 这个方法通常叫做元素法 工工工 应用方向: 平面图形的面积;体积;平面曲线的弧长 功;水压力;引力和平均值等 上页

3）以所求量U 的元素 f ( x)d x 为被积表达式，在 区 间[a, b]上作定积分，得  = b a U f ( x )dx ， 即为所求量U 的积分表达式. 这个方法通常叫做元素法． 应用方向： 平面图形的面积；体积；平面曲线的弧长； 功；水压力；引力和平均值等．

二、小结 王元素法的提出、思想、步骤 (注意微元法的本质) 上页

元素法的提出、思想、步骤. （注意微元法的本质） 二、小结

思考题 微元法的实质是什么? 上页

思考题 微元法的实质是什么？

思考题解答 微元法的实质仍是“和式”的极限 上页

思考题解答 微元法的实质仍是“和式”的极限