《高等数学》课程教学资源：平面及其方程

第七节平面及其方程 巴一、平面的点法式方程 平面的一般方程 巴三、两平面的夹角 四四、小结思考题

生一、平面的点法式方程 如果一非零向量垂直 于一平面,这向量就叫做 该平面的法线向量 y 午法线向量的特征:垂直于平面内的任一向量 已知n={A,B,C},M(x0,y, 设平面上的任一点为M(x,,B 牛必有M,M⊥n→MMn=0 上页

x y z oM0 M 如果一非零向量垂直 于一平面，这向量就叫做 该平面的法线向量． 法线向量的特征： 垂直于平面内的任一向量． 已知 n = {A, B, C},  ( , , ), 0 0 0 0 M x y z 设平面上的任一点为 M ( x, y, z) M M n  必有 0 ⊥  0 M0M  n =  一、平面的点法式方程 n 

s:.M.M=(x-xo,y-yo, z-zo3 A(x-x0)+B(y-y)+C(z-x0)=0 平面的点法式方程 庄其中法向量n=(4C,已知点(巧,, 平面上的点都满足上方程,不在平面上的 点都不满足上方程,上方程称为平面的方程, 平面称为方程的图形 上页

{ , , } 0 0 0 0  M M = x − x y − y z − z ( ) ( ) ( ) 0  A x − x0 + B y − y0 + C z − z0 = 平面的点法式方程 平面上的点都满足上方程，不在平面上的 点都不满足上方程，上方程称为平面的方程， 平面称为方程的图形． 其中法向量 n = {A,B,C},  已知点 ( , , ). 0 0 0 x y z

例1求过三点A(2,-1,4)、B(-1,3,-2)和 C(0,2,3)的平面方程. 解AB={-3,4,-6} 50 AC={-2,3,-1} 取n=AB×AC={14,9,1}, 所求平面方程为14(x-2)+9(y+1)-(z-4)=0, 化简得14x+9y-x-15=0. 上页

例 1 求过三点A(2,−1,4) 、B(−1,3,−2)和 C(0,2,3)的平面方程. 解 AB = {−3, 4,−6} AC = {−2, 3,−1} 取 n = AB AC  = {1 4, 9,−1}, 所求平面方程为 1 4( x − 2) + 9( y + 1) − (z − 4) = 0, 化简得 1 4x + 9 y − z − 1 5 = 0

庄例2求过点(1),且垂直于平一+2=7和 3x+2y-12x+5=0的平面方程. 解五1={1,-1,1},2={3,2,-12} 取法向量n=n1Xn2={10,15,5} 所求平面方程为 10(x-1)+15(y-1)+5(z-1)=0, 化简得2x+3y+z-6=0. 上页

例 2 求过点(1,1,1)，且垂直于平面x − y + z = 7 和 3 x + 2 y − 1 2z + 5 = 0 的平面方程. {1, 1,1}, n1 = −  {3,2, 1 2} n2 = −  取法向量 n n1 n2    =  = {1 0,1 5, 5}, 1 0( x − 1) + 1 5( y − 1) + 5(z − 1) = 0, 化简得 2x + 3 y + z − 6 = 0. 所求平面方程为 解

二、平面的一般方程 由平面的点法式方程 4A(x-x)+B(y-)+C(z-zn)=0 =Ax+By+Cd-(Ax+Byo+Cz F0 D Ax+By+Cz+D=0平面的一般方程 法向量n={A,B,C} 上页

由平面的点法式方程 ( ) ( ) ( ) 0 A x − x0 + B y − y0 + C z − z0 = ( ) 0  A x + B y + C z − A x0 + B y0 + C z0 == D Ax + By + Cz + D = 0 平面的一般方程 法向量 n = {A,B,C}.  二、平面的一般方程

平面一般方程的几种特殊情况: (1)D=0,平面通过坐标原点; D=0,平面通过x轴 A(2)1=01D≠0,平面平行于x轴; 庄类似地可讨论B=0,C=0情形 (3)A=B=0,平面平行于xoy坐标面; 类似地可讨论A=C=0,B=C=0情形 上页

平面一般方程的几种特殊情况： (1) D = 0, 平面通过坐标原点； (2) A = 0,     = 0, 0, D D 平面通过 x 轴； 平面平行于 x 轴； (3) A = B = 0, 平面平行于 xoy 坐标面； 类似地可讨论 A = C = 0, B = C = 0 情形. 类似地可讨论 B = 0, C = 0 情形

例3设平面过原点及点(6,-3,2),且与平面 4x-y+2z=8垂直,求此平面方程 解设平面为Ax+B+Cz+D=0, 由平面过原点知D=0, 由平面过点(6,-3,2)知6A-3B+2C=0 n⊥{4-1,2},:44-B+2C=0 →4二P2 所求平面方程为2x+2y-3z=0 上页

例 3 设平面过原点及点(6,−3, 2)，且与平面 4 x − y + 2z = 8垂直，求此平面方程. 设平面为 A x + B y + C z + D = 0, 由平面过原点知 D = 0, 由平面过点(6,−3, 2)知 6A− 3B+ 2C = 0 n⊥{4,−1,2},   4A− B+ 2C = 0 , 3 2  A = B = − C 所求平面方程为 2 x + 2 y − 3z = 0. 解

王例4设平面与,三轴分别交(00 上Q(0,b0)、R(.0,c)(其单≠0,b≠0,;≠0) 求此平面方程 解设平面为Ax+B+C+D=0, aA+D=0 将三点坐标代入得{bB+D=0, cC +D=0 D D D →A=-—,B= C= b C 上页

例 4 设平面与x , y , z 三轴分别交于P(a,0,0) 、 Q(0, b,0)、 R(0,0, c )（其中a  0 ，b  0 ，c  0 ）， 求此平面方程. 设平面为 A x + B y + C z + D = 0, 将三点坐标代入得      + = + = + = 0, 0, 0, cC D b B D a A D  , a D A = − , b D B = − . c D C = − 解

c将A= D D B Cs、D b C 代入所设方程得 x+y+x=1平面的截距式方程 ah 王x轴上截距y轴上截距z轴上截距 上页

, a D A = − , b D B = − , c D 将 C = − 代入所设方程得 + + = 1 c z b y a x 平面的截距式方程 x轴上截距 y轴上截距 z 轴上截距