《高等数学》课程教学资源：平面图形的面积

第二节平面图形的面积 一、直角坐标系情形 四二、极坐标系情形 巴三、小结思考题

、直角坐标系情形 y=∫(x) J y2(x) f1(x) 0 xx+△x b x△xb 曲边梯形的面积 曲边梯形的面积 b A= f(rdx A=I(x)-f(xldx 上页

x y o y = f ( x) a b x y o ( ) 1 y = f x ( ) 2 y = f x a b 曲边梯形的面积  = b a A f (x)dx 曲边梯形的面积  = − b a A [ f (x) f (x)]d x 2 1 一、直角坐标系情形 x x + x xx

例1计算由两条抛物线y2=x和y=x2所围成的 图形的面积 解两曲线的交点 (0,0)(1,1) P=s 选x为积分变量x∈0,1 面积元素d4=(x-x2)dx A=LOx-xdx=i=r-t> 2 3 3 3 王页下

例 1 计算由两条抛物线 y = x 2 和 2 y = x 所围成的 图形的面积. 解 两曲线的交点 (0,0) (1,1) 面积元素 dA ( x x )dx 2 = − 选 x 为积分变量 x  [0,1] A ( x x )d x 2 1 0 = −  1 0 3 3 3 2 2 3       = − x x . 3 1 = 2 y = x 2 x = y

庄例2计算由曲线y=x一6X和二所国成 的图形的面积 6x 解两曲线的交点 y=x-6x = →>(0,0),(2,4),(3,9) 选x为积分变量x∈[-2,3l (1)x∈[-2,01dA4=(x3-6x-x2)dx (2)x∈10,3,d42=(x2-x3+6x)dx 上页 圆

例 2 计算由曲线y x 6 x 3 = − 和 2 y = x 所围成 的图形的面积. 解 两曲线的交点  (0,0), (−2,4), (3,9).    = = − 2 3 6 y x y x x 选 x 为积分变量 x [−2, 3] (1) x [−2, 0], d A ( x 6x x )d x 3 2 1 = − − (2) x [0,3], d A ( x x 6x)d x 2 3 2 = − + 2 y = x y x 6x 3 = −

于是所求面积A=A1+A2 A=(x'-6x-x)dx+l(x-x+6x)dx 253 12 说明:注意各积分区间上被积函数的形式 问题:积分变量只能选x吗? 上页

于是所求面积 A = A1 + A2 A (x 6x x )d x 2 0 2 3 = − − − (x x 6x)d x 2 3 3 0 + − +  . 12 253 = 说明：注意各积分区间上被积函数的形式． 问题：积分变量只能选 x 吗？

例3计算由曲线y=2x和直线y=x-4所围 成的图形的面积 解两曲线的交点 y=2x J=x-4 →(2,-2,(8,4).2 y=2x 选y为积分变量 y∈|-2,44=y+4-yl A=|dA=18 上页

例 3 计算由曲线y 2 x 2 = 和直线 y = x − 4 所 围 成的图形的面积. 解 两曲线的交点  (2,−2), (8,4).    = − = 4 2 2 y x y x 选 y 为积分变量 y  [−2, 4] d y y d A y       = + − 2 4 2 18. 4 2 = = − A dA y 2x 2 = y = x−4

如果曲边梯形的曲边为参数方程 x=o(t) y=y(t) t2 曲边梯形的面积A=∫v(tlg() tL (其中和对应曲线起点与终点的参数值) 在t121(或,1)上x=9()具有连续导数, y=v(t)连续 上页

如果曲边梯形的曲边为参数方程    = = ( ) ( ) y t x t   曲边梯形的面积 ( ) ( ) . 2 1  =  t t A  t  t dt （其中1 t 和2 t 对应曲线起点与终点的参数值） 在[ 1 t , 2 t ]（ 或[ 2 t , 1 t ]）上 x =  (t) 具有连续导数， y =  (t)连 续

2 例4求椭圆2+2=1的面积 b x= acos t 解椭圆的参数方程 y=bint 由对称性知总面积等于4倍第一象限部分面积 A=4 ydx=4. b sin td(a cos t) =4absin'tdt =tab 0 上页

例 4 求椭圆 1 2 2 2 2 + = b y a x 的面积. 解 椭圆的参数方程    = = y b t x a t sin cos 由对称性知总面积等于4倍第一象限部分面积．  = a A ydx 0 4  = 0 2 4 b sin td(a cos t) ab tdt   = 2 0 2 4 sin = ab

二、极坐标系情形 6+d6 设由曲线r=p(0)及射线 r=q(6) 0=a、6=B围成一曲边扇 6=B d 形,求其面积,这里,0() 工工工 在 a,B上连,9()≥0 面积元素d4=|l()2de°=a0 曲边扇形的面积A=l()2d0 上页

设由曲线r =  ( ) 及射线  =  、 =  围成一曲边扇 形，求其面积．这里， ( ) 在 [ ,  ]上连续，且 ( )  0 ． o x  =  d  =   + d 面积元素 d A   d 2 [ ( )] 2 1 = 曲边扇形的面积 [ ( )] . 2 1 2      A d  = 二、极坐标系情形 r = ( )

例5求双纽线p=a2c0s26所围平面图形 的面积. 解由对称性知总面积=4倍第 一象限部分面积 4=4 A A=4 - cos 20d0=a p=a cos 28 102 圆[回 上页

例 5 求双纽线 cos 2 2 2 = a 所围平面图形 的面积. 解 由对称性知总面积=4倍第 一象限部分面积 1 A = 4A    A a cos 2 d 2 1 4 4 0 2  = . 2 = a  cos 2 2 2 = a A1