《高等数学》课程教学资源：体积

第三节体积 一、旋转体的体积 巴二、平行截面面积为己知的 立体的体积 小结思考题

庄一旋转体的体积 旋转体就是由一个平面图形饶这平面内 一条直线旋转一周而成的立体。这直线叫做 旋转轴 圆柱 圆锥 圆台 上页

旋转体就是由一个平面图形饶这平面内 一条直线旋转一周而成的立体．这直线叫做 旋转轴． 圆柱 圆锥 圆台 一、旋转体的体积

般地,如果旋转体是由连续曲线y=∫(x) 直线x=a、x=b轴所围成的曲边梯形绕 x轴旋转一周而成的立体,体积为多少? 取积分变量为 J x∈[a,b 牛在a,上任取小区 0、a dx b Jx, x+ dx 工工工 取以d为底的窄边梯形绕轴旋转而成的薄 片的体积为体积元素,∥=f(x)2 旋转体的体积为=∫of(x)at 上页

一般地，如果旋转体是由连续曲线y = f ( x) 、 直 线 x = a 、x = b 及x 轴所围成的曲边梯形绕 x 轴旋转一周而成的立体，体积为多少？ 取积分变量为x ， x [a,b] 在[a, b]上任取小区 间[ x, x + d x]， 取 以dx 为底的窄边梯形绕x 轴旋转而成的薄 片的体积为体积元素， dV f x dx 2 = [ ( )] x x + dx x y o 旋转体的体积为 V f x d x b a 2 [ ( )]  =  y = f (x)

例1连接坐标原点及点(h,r)的直线、直线 x=h及x轴围成一个直角三角形.将它绕轴旋 转构成一个底半径为、高为的圆锥体,计算 圆锥体的体积 解直线OP方程为 y-h A取积分变量为,x∈0,h 在0,h上任取小区间x,x+dlxl, 上页

y 例 1 连接坐标原点O 及 点P(h,r) 的直线、直线 x = h 及x 轴围成一个直角三角形．将它绕x 轴 旋 转构成一个底半径为r 、高为 h 的圆锥体，计算 圆锥体的体积． 解 r h P x h r y = 取积分变量为x ，x [0,h] 在[0,h]上任取小区间[ x, x + d x] ， x o 直线 OP 方程为

以d为底的窄边梯形绕轴旋转而成的薄片的 体积为 ="x|d h h 园锥体的体积 2 ch r 2 orx =|兀一x d h h23 3 0 上页

以dx 为底的窄边梯形绕x 轴旋转而成的薄片的 体积为 x dx h r dV 2       =  圆锥体的体积x dx h r V h 2 0       =   h x h r 0 3 2 2 3        = . 3 2 hr = y r h P x o

例2求星形线x3+y3=a3(a>0)绕轴旋转 构成旋转体的体积 J 2 解 = - x∈|-a,a 旋转体的体积 2 3 32 V=πa3-x3dc= T 105 上页

− a a o y x 例 2 求星形线 3 2 3 2 3 2 x + y = a (a  0)绕x 轴旋转 构成旋转体的体积. 解 , 3 2 3 2 3 2  y = a − x 3 3 2 3 2 2          y = a − x x [−a, a] 旋转体的体积 V a x dx a a 3 3 2 3 2         =  − − . 105 32 3 = a

类似地,如果旋转体是由连续曲线 x=9(y)、直线=c y=d芨轴所围 成的曲边梯形绕轴旋转一周而成的立体, 体积为 y=[m/y)2 P(y) 0 上页

类 似 地 ， 如 果 旋 转 体 是 由 连 续 曲 线 x =  ( y) 、直线y = c 、y = d 及 y 轴所围 成的曲边梯形绕y 轴旋转一周而成的立体， 体积为 x y o x =  ( y) c d y dy 2 [ ( )]  =  d c V

例3求摆线x=a(t-sint),y=a(1-c0st) 的一拱与y=0所围成的图形分别绕轴!轴 旋转构成旋转体的体积. 解绕x轴旋转的旋转体体积 y(x) eTTa V= y(x)dx 0 2兀 =πla2(1-cost)2·a(1- cost)dt 0 2兀 Ta(1-3cost +3 cos2t-cos't)dt=52a 王页下

例 3 求摆线 x = a(t − sin t) ，y = a(1 − cost) 的一拱与y = 0 所围成的图形分别绕x 轴 、y 轴 旋转构成旋转体的体积. 解 绕x轴旋转的旋转体体积 V y x d x a x ( ) 2 2 0   =    =  −  − 2 0 2 2 a (1 cost) a(1 cost)d t   =  − + − 2 0 3 2 3 a (1 3cost 3cos t cos t)d t 5 . 2 3 =  a a 2a y( x)

王轴旋转的旋转体体积24n=x(y 可看作平面图0ABC与BC K=x,(y) 分别绕”轴旋转构成旋转体的体积之差 2a 2a Tx2 (y)dt 0 Jo i (y)dt 7 πa2(t-sinn2 aminta 2 a(t-sint) asintdt JO 3 2元 3 T (t-sint)'sintdt=on ev 0 上页

绕y轴旋转的旋转体体积 可看作平面图OABC 与OBC 分别绕y 轴旋转构成旋转体的体积之差. V x y dt a y ( ) 2 2 0 2  =  x y dt a ( ) 2 2 0 1  −  o y 2a x A 2a C B ( ) 2 x = x y ( ) 1 x = x y    =  −  2 2 2 a (t sint) asintdt   −  −  0 2 2 a (t sint) asintdt   =  − 2 0 3 2 a (t sint) sintdt 6 . 3 3 =  a

补充如果旋转体是由连续曲线=f(x) 直线x=a、x=b度轴所围成的曲边梯形绕 卩轴旋转一周而成的立体,体积为 b v,=2n xlf(x)ldx 利用这个公式,可知上例中 工工工 V,=2r[ xlf(x)ldx 0 2 =2π[a(t-sin)·a(1-coso)la(t-sin)l 2兀 2Ta(t-sint)(1-cost)dt=6T 上页

补充 如果旋转体是由连续曲线y = f ( x ) 、 直 线 x = a 、x = b 及x 轴所围成的曲边梯形绕 y 轴旋转一周而成的立体，体积为 V x f x d x b a y 2 | ( )|  =  利用这个公式，可知上例中 V x f x d x a y 2 | ( )| 2 0   =    =  −  − − 2 0 2 a(t sint) a(1 cost)d[a(t sint)]   =  − − 2 0 3 2 2 a (t sint)(1 cost) d t 6 . 3 3 =  a