《高等数学》课程教学资源：向量及其加减法向量与数的乘法

第二节向量及其加减法 向量与数的乘法 向量的概念 向量的加减法 向量与数的乘法 巴四、小结思考题

、向量的概念 M 向量:既有大小又有方向的量 向量表示:a或M1M2 M 以M1为起点,M2为终点的有向线段 向量的模:向量的大小.|d或|M,M2 王单位向量:模长为1的向量d或M,M2 零向量:模长为的向量0 上页

向量：既有大小又有方向的量. 向量表示： 以M1为起点，M2 为终点的有向线段. M1 M 2   a  M1M2 模长为1的向量. M1M2 0 0 a 零向量：模长为0的向量. 0  | a |  M1M2 向量的模：向量的大小. | | 单位向量： 一、向量的概念 或 或 或

自由向量:不考虑起点位置的向量 相等向量:大小相等且方向相同的向量 b 负向量:大小相等但方向相反的向量d 同径:空间直角坐标系中任一点M与原点 构成的向量.OM 上页

自由向量：不考虑起点位置的向量. 相等向量：大小相等且方向相同的向量. 负向量：大小相等但方向相反的向量. a  − 向径： a  b  a  − a  空间直角坐标系中任一点 与原点 构成的向量. OM M

庄二、向量的加减法 加法:a+b=c (平行四边形法则) (平行四边形法则有时也称为三角形法则) 特殊地:若db分为同向和反向 b c|c|=a|+|b b c|=|a|-|b1 上页

[1] 加法： a b c    + = a  b  c  （平行四边形法则） 特殊地：若 a  ‖ b  a  b  c  | c | | a | | b |    = + 分为同向和反向 b  a  c  | c | | a | | b |    = − （平行四边形法则有时也称为三角形法则） 二、向量的加减法

王 向量的加法符合下列运算规律 出(1)交换律:a+b=b+a (2)结合律:a+b+c=(l+b)+c=a+(b+c (3)a+(a)=0 2]减法a-b=a+(-b) b b …a+b C=a+(-b) a-b =a-b 王页下

向量的加法符合下列运算规律： （1）交换律： a b b a.     + = + （2）结合律： a b c a b c       + + = ( + )+ a (b c).    = + + （3） ( ) 0.    a + −a = [2] 减法 a b a ( b)     − = + − a b   b  − b  c −  a b c a b      = − = + (− ) a b   + a b   a −  b 

生三、向量与数的乘法 c设是一个数,向量与的乘积规定为 (1)>0,M与同向,|a=A|dl 王(2x=0,4=0 工工工 (3)<0,M与反向,|=|l 2 上页

设 是一个数，向量a  与 的乘积 a   规定为 (1) 0, a   与a  同向，| a | |a |    =  (2) = 0, 0   a = (3)  0, a   与a  反向，| a | | | |a |    =   a  a  2 a  2 1 − 三、向量与数的乘法

数与向量的乘积符合下列运算规律: (1)结合律:()=1(2a)=(4)a (2)分配律:(+pa=Aa+pu n(a+b=na+2b 两个向量的平行关系 定理设向量a≠0,那末向量b平行于a的充 分必要条件是:存在唯一的实数礼,使b=a 上页

数与向量的乘积符合下列运算规律： （1）结合律： ( a) ( a)     =   a  = () （2）分配律： a a a    ( +) = + a b a b     ( + ) =  +  . 0 b a a b a       =   分必要条件是：存在唯 一的实数 ， 使 定 理 设向量 ，那末向量 平行于 的 充 两个向量的平行关系

证充分性显然; 必要性设a取儿=, 当b与d同向时元取正值, 当b与a反向时取负值,即有b=An. 此时b与同向.且A=1a=a=6 九的唯一性设b=aa,又设b =ua, 两式相减,得(4-4)a=0,即元-l=0, l≠0,故x-=0,即= 上页

证 充分性显然； 必要性 a  b ‖  设 , a b   取  = 当b 与 a同向时  取正值，   当b 与 a 反向时  取负值，   b a.   即有 =  此时 b 与 a同向.     a a   且  =  a a b    = b .  = 的唯一性. 设 b a，   =  又设 b a，   =  两式相减，得 ( ) 0，    −  a = 即 − a = 0，    a  0，   故  −  = 0， 即  = 

设a“表示与非零向量a同方向的单位向量 按照向量与数的乘积的规定, n=a|a° a 上式表明:一个非零向量除以它的模的结果是 A一个与原向量同方向的单位向量 上页

设a 表示与非零向量 a 同方向的单位向量，  0  按照向量与数的乘积的规定， 0 a | a | a    = . | | 0 a a a    = 上式表明：一个非零向量除以它的模的结果是 一个与原向量同方向的单位向量

1b-3d 例1化简a-b+5-b+ 2 5 1b-3d 解a-b+5-b+ 2 5 =(1-3n+-1-51 +-.5b 25 5 =-2t--b. 2 上页

例1 化简       − − + − + 5 3 2 1 5 b a a b b      解       − − + − + 5 3 2 1 5 b a a b b      a b         = − + − − +  5 5 1 2 5 (1 3) 1 . 2 5 2a b   = − −