河北理工学院：《高等数学》课程教学资源（PPT课件讲稿）第三章 中值定理与导数的应用（3.6）最大值最小值问题

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第六节 最大值最小值问题 最值的求法 应用举例 小结

高数课程妥媒血课件 镭理工大理>> 最值的求法 若函数∫(x)在[a,b上连续,除个别点外处处可导, 并且至多有有限个导数为零的点,则f(x)在{a,b 上的最大值与最小值存在 b x b x b x Http://www.heut.edu.cn

o x y o x y a b o x y a b a b . ( ) [ , ] ( ) [ , ] 上的最大值与最小值存 在 并且至多有有限个导数 为零的点，则 在 若函数 在 上连续，除个别点外处 处可导， f x a b f x a b 一、最值的求法

高数课程妥媒血课件 镭理工大理>> 步骤: 1求驻点和不可导点; 2求区间端点及驻点和不可导点的函数值,比 较大小,那个大那个就是最大值那个小那个就 是最小值 泣意:如票区间内只有一个极值,则这个极 值就是最值.(最大值或最小值) Http://www.heut.edu.cn

1.求驻点和不可导点; 2.求区间端点及驻点和不可导点的函数值,比 较大小,那个大那个就是最大值,那个小那个就 是最小值; 注意:如果区间内只有一个极值,则这个极 值就是最值.(最大值或最小值) 步骤:

高数课程妥媒血课件 镭理工大理>> 二、应用举例 例1求函数y=2x3+3x2-12x+14的在-3,41 上的最大值与最小值 解 f∫(x)=6(x+2)x-1) 解方程f(x)=0,得x=-2,2=1 计算f(-3)=23;∫(-2)=34; ∫(1)=7 f(4)=142 Http://www.heut.edu.cn

例1 解  f ( x) = 6( x + 2)( x − 1) . 2 3 12 14 [ 3,4] 3 2 上的最大值与最小值 求函数 y = x + x − x + 的在 − 解方程f(x) = 0,得 2, 1. x1 = − x2 = 计算 f (−3) = 23; f (−2) = 34; f (1) =7; f (4) =142; 二、应用举例

高数课程妥媒血课件 镭理工大理>> y=2x3+3x2-12x+14 40 10 比较得最大值f(4)=142最小值f(1)=7 Http://www.heut.edu.cn

比较得 最大值f (4) = 142，最小值f (1) = 7. 2 3 12 14 3 2 y = x + x − x +

高数课程妥媒血课件 镭理工大理>> 例2敌人乘汽车从河的北岸A处以1千米分钟 的速度向正北逃窜,同时我军摩托车从河的 南岸B处向正东追击, 速度为2千米/分钟 问我军摩托车何 时射击最好(相 距最近射击最好)? 点击图片任意处播放暂停 Http://www.heut.edu.cn

点击图片任意处播放\暂停 例2 敌人乘汽车从河的北岸A处以1千米/分钟 的速度向正北逃窜，同时我军摩托车从河的 南岸B处向正东追击， 速度为2千米/分钟． 问我军摩托车何 时射击最好（相 距最近射击最好）？

高数课程妥媒血课件 理工大理>> 解(1)建立敌我相距函数关系 s(t) 设t为我军从B处发起 追击至射击的时间分)05公里 敌我相距函数s(t) B s()=√05+12+(4-2)2 4公里 (2)求s=s(t)的最小值点 5t-75 V(0.5+)2 令s(t)=0, +(4-2t 得唯一驻点t=1.5 故得我军处发起追击卮5分钟射击最妇 Http://www.heut.edu.cn

解 0.5公里 (1)建立敌我相距函数关系 追击至射击的时间(分). 设 t 为我军从B处发起 敌我相距函数 2 2 s(t) = (0.5 + t) + (4 − 2t) 4公里 B A  s(t) s(t) (2)求s = s(t)的最小值点. s(t) = . (0.5 ) (4 2 ) 5 7.5 2 2 t t t + + − − 令s(t) = 0, 得唯一驻点 t = 1.5. 故得我军从B处发起追击后1.5分钟射击最好

高数课程妥媒血课件 镭理工大理>> 实际问题求最值应注意: (1)建立目标函数; (2)求最值; 若目标函数只有唯一獻,则该点的 函数值即为所求的截最小值 Http://www.heut.edu.cn

(1)建立目标函数; (2)求最值; 函数值即为所求的最或最小值 ． 若目标函数只有唯一驻点，则该点的 ( ) 实际问题求最值应注意:

高数课程妥媒血课件 镭理工大理>> 例3某房地产公司有50套公寓要出租,当租金定 为每月180元时,公寓会全部租出去.当租 金每月增加10元时,就有一套公寓租不出去, 而租出去的房子每月需花费20元的整修维护 费.试问房租定为多少可获得最大收入? 解设房租为每月元, 租出去的房子有50 x-180 套 10 每月总收入为 R(x)=(x-20)50~x-180 10 Http://www.heut.edu.cn

例3 某房地产公司有50套公寓要出租，当租金定 为每月180元时，公寓会全部租出去．当租 金每月增加10元时，就有一套公寓租不出去， 而租出去的房子每月需花费20元的整修维护 费．试问房租定为多少可获得最大收入？ 解 设房租为每月 x 元， 租出去的房子有  套，      − − 1 0 180 5 0 x 每月总收入为 R(x) = (x − 20)       − − 10 180 50 x

高数课程妥媒血课件 镭理工大理>> R(x)=(x-20)68 10 R'(x)=68-+(x-20 =70 x5 R(x)=0→x=350(唯一驻点) 故每月每套租金为350元时收入最高。 最大收入为R(x)=(350-20)|68 350 10 =10890(元) Http://www.heut.edu.cn

      = − − 1 0 ( ) ( 2 0) 6 8 x R x x        + − −       = − 1 0 1 ( 2 0) 1 0 ( ) 6 8 x x R x 5 70 x = − R(x) = 0  x = 350 （唯一驻点） 故每月每套租金为350元时收入最高。 最大收入为       = − − 1 0 350 R( x) (350 2 0) 6 8 =10890(元)