河北理工学院：《高等数学》课程教学资源（PPT课件讲稿）第二章 导数与微分（2.8）微分在近似计算中的应用

高数课程妥媒血课件 镭理工大理>> 计算函数增量的近似值 计算函数的近似值 ◎误鎏估计 小结 Http://www.heut.edu.cn

第八节 微分在近似计算中的应用 计算函数增量的近似值 计算函数的近似值 误差估计 小结

高数课程妥媒血课件 镭理工大理>> 计算函数増量的近似值 若y=f(x)在点x0处的导数f(x0)≠0,且 △x很小时, △ =0≈dy f(x0)·△x 例1半径10厘米的金属圆片加热后,半径伸长了 0.05厘米,问面积增大了多少? 解设A=r2,r=10厘米,△r=0.05厘米 △4≈d=2兀r·△r=2兀×10×005=π(厘米2 Http://www.heut.edu.cn

0.05 , ? 10 , 厘米 问面积增大了多少 半径 厘米的金属圆片加热后 半径伸长了 , ( ) ( ) 0, 0 0 很小时 若 在点 处的导数 且 x y f x x f x  =   例1 解 , 2 设A = r r = 10厘米, r = 0.05厘米.  A  d = 2r  r = 2 100.05 ( ). 厘米2 =  ( ) . = f  x0  x x x0 x x0 y dy  =  = 一、计算函数增量的近似值

高数课程妥媒血课件 镭理工大理>> 二、计算函数的近似值 1求f(x)在点x=x附近的近似值 △y=f(x0+△x)-f(x0)≈f(x0)·△x f(x0+△x)≈f(x0)+f(x)△x.(Ax很小时) 例1计算c0s60°30的近似值 解设f(x)=c0sx,∫'(x)=-sinx,(x为弧度) π3 △ 360 Http://www.heut.edu.cn

1. ( ) ; 求f x 在点x = x0附近的近似值 ( ) ( ) 0 x0 y = f x + x − f ( ) .  f  x0  x ( ) ( ) ( ) . 0 0 0 f x + x  f x + f  x  x (x很小时) 例1 cos60 30 . 计算 o 的近似值 解 设f (x) = cos x,  f (x) = −sin x, (x为弧度) , 360 , 3 0   =   x = x 二、计算函数的近似值

高数课程妥媒血课件 镭理工大理>> T T、 3 9 .c0s6030=c0s(+ T兀 3360≈c0sx-in 3360 1、3 兀≈0.4924. 22360 2求f(x)在点x=0附近的近似值 令x0=0,△x=x f(x0+△x)≈f(x)+f(x0)·△x, f(x)≈f(0)+f(0)·x Http://www.heut.edu.cn

. 2 3 ) 3 , ( 2 1 ) 3 ( = −  =    f f ) 3 360 cos60 30 cos( o  +    = 3 360 sin 3 cos    −   2 360 3 2 1  = −   0.4924. 2.求f (x)在点x = 0附近的近似值;  f (x)  f (0) + f (0) x. ( ) ( ) ( ) ,  f x0 + x  f x0 + f  x0  x 0, . 令 x0 = x = x

高数课程妥媒血课件 镭理工大理>> 常用近似公式(x很小时 (1)1+x≈1+x;(2)sinx≈x(x为弧度); n (3)tanx≈x(x为弧度);(4)e≈1+x; (5)ln(1+x)≈x 证明(1)设∫(x)=1+x,f(x)=(1+x) f(0)=1,∫(0) f(x)≈∫(0)+f(0)x=1+x Http://www.heut.edu.cn

( x很小时) (5) ln(1 ) . (3) tan ( );(4) 1 ; ; (2)sin ( ); 1 (1) 1 1 x x x x x e x x x x x n x x n +    + +  +  为弧度 为弧度 证明 (1) ( ) 1 , n 设 f x = + x (1 ) , 1 ( ) 1 1 −  = + n x n f x . 1 (0) 1, (0) n f = f  =  f (x)  f (0) + f (0)x 1 . n x = + 常用近似公式

高数课程妥媒血课件 镭理工大理>> 例2计算下列各数的近似值 (1)39985;(2)e103 解(1)3998.5=1000-1.5 1.5 =310004 )=1031-00015 1000 ≈10(1-×0.0015)=9995 3 (2)e"0≈1-0.03=0.97 Http://www.heut.edu.cn

例 2 计算下列各数的近似值. 解 (1) 998.5; (2) . 3 −0.03 e 3 3 (1) 998.5 = 1000 − 1.5 3 ) 1000 1.5 = 1000(1 − 3 = 10 1 − 0.0015 0.0015) 31  10(1 −  = 9 .995 . (2) 1 0.03 0.03  − − e = 0.97

高数课程妥媒血课件 镭理工大理>> 三、误差佔计 由于测量仪器的精度、测量的条件和测量的方法 等各种因素的影响,测得的数据往往带有误差, 而根据带有误差的数据计算所得的结果也会有误 差,我们把它叫做间接测量误差 如果某个量的精度值为A,它的近似值 为n,那末A-a叫做a的绝对误差 而绝对误差与的比值叫做的相对误差 问题在实际工作中绝对误差与相对误差无 法求得? Http://www.heut.edu.cn

由于测量仪器的精度、测量的条件和测量的方法 等各种因素的影响，测得的数据往往带有误差， 而根据带有误差的数据计算所得的结果也会有误 差，我们把它叫做间接测量误差. , . , 为 那 末 叫 做 的绝对误差 如果某个量的精度值为 它的近似值 a A a a A − 而绝对误差与 的比值 叫 做a的相对误差. a A a a − 在实际工作中,绝对误差与相对误差无 法求得? 定义 问题 三、误差估计

高数课程妥媒血课件 镭理工大理>> 办法:将误差确定在某一个范围内 如果某个量的精度值是4测得它的近似值是n, 又知道它的误差不超过6,即 A-a≤8 A9 那末δ叫做测量4的绝对误差限而4叫做测量 A的相对误差限 通常把绝对误差限与相对误差限简称为绝对误 差与相对误差 Http://www.heut.edu.cn

将误差确定在某一个范围内. . , , , , , 的相对误差限 那 末 叫做测量 的绝对误差限 而 叫做测量 又知道它的误差不超过 即 如果某个量的精度值是 测得它的近似值是 A a A A a A a A A A A   −    通常把绝对误差限与相对误差限简称为绝对误 差与相对误差. 办法:

高数课程妥媒血课件 镭理工大理>> 例3正方形边长为2.41±0.005米,求出它的面积 并估计绝对误差与相对误差 解设正方形边长为x,面积为y,则y=x2 当x=241时,y=(241)2=58081(m2) yx=24=2xx=241=4.82 边长的绝对误差为δ=0.005, 面积的绝对误差为δ=482×0005-0.0241(m2) 面积的相对误差为 δ,0.0241 ≈0.4% 5.8081 Http://www.heut.edu.cn

例 3 . 2.41 0.005 , , 并估计绝对误差与相对误 差 正方形边长为  米 求出它的面积 解 设正方形边长为x,面积为y,则 . 2 y = x 当x = 2.41时, (2.41) 5.8081( ). 2 2 y = = m =2.41 = 2 =2.41  x x x y = 4.82. = 0.005, 边长的绝对误差为  x 面积的绝对误差为  y = 4.82 0.005 0.0241 ( ). 2 = m y y 面积的相对误差为 5.8081 0.0241 =  0.4%

高数课程妥媒血课件 镭理工大理>> 小 近似计算的基本公式 当△x很小时, 4 yasko s dy.=n=f(x),△ f(x)≈f(x0)+f'(x0)(x-x0) 当x=0时, f(x)≈f(0)+f(0)·x Http://www.heut.edu.cn

近似计算的基本公式 f (x)  f (0) + f (0) x. x x0 x x0 y dy  =  = ( ) . 0 = f  x  x ( ) ( ) ( ) ( ), 0 0 0 f x  f x + f  x  x − x 当x很小时, 当x = 0时, 小 结