河北理工学院：《高等数学》课程教学资源（PPT课件讲稿）第三章 中值定理与导数的应用（3.8）函数图形的描绘

高数课程妥媒血课件 镭理工大理>> ◎渐近线 图形描绘的步骤 作图举例 Http://www.heut.edu.cn

第八节 函数图形的描绘 渐近线 图形描绘的步骤 作图举例

高数课程妥媒血课件 镭理工大理>> 一、渐近线 定义:当曲线y=f(x)上的一动点P沿着曲线 移向无穷点时如果点P到某定直线L的距离 趋向于零那么直线L就称为曲线y=f(x)的 条渐近线 1.铅直渐近线(垂直于x轴的渐近线) 如果limf(x)=∞或Iim∫(x)=0 x→x 那么x=x0航是y=f(x)的一条铅直渐近线 Http://www.heut.edu.cn

定义: . , ( ) , ( ) 一条渐近线 趋向于零 那么直线 就称为曲线 的 移向无穷点时 如果点 到某定直线 的距离 当曲线 上的一动点 沿着曲线 L y f x P L y f x P = = 1.铅直渐近线 (垂直于 x 轴的渐近线) ( ) . lim ( ) lim ( ) 0 0 0 那 么 就 是 的一条铅直渐近线 如 果 或 x x y f x f x f x x x x x = = =  =  → + → − 一、渐近线

高数课程妥媒血课件 镭理工大理>> 例如 (x+2)(x-3) 有铅直渐近线两条:x=-2,x=3 Http://www.heut.edu.cn

例如 , ( 2)( 3) 1 + − = x x y 有铅直渐近线两条: x = −2, x = 3

高数课程妥媒血课件 镭理工大理>> 2.水平渐近线(平行于x轴的渐近线) 如果limf(x)=b或limf(x)=b(b为常数) x→+0 x→-0 那么y=b就是y=∫(x)的一条水平渐近线 例如y= arctan, 51015x 有水平渐近线两条:y 2 Http://www.heut.edu.cn

2.水平渐近线 (平行于 x 轴的渐近线) ( ) . lim ( ) lim ( ) ( ) 那 么 就 是 的一条水平渐近线 如 果 或 为常数 y b y f x f x b f x b b x x = = = = →+  →−  例如 y = arctanx, 有水平渐近线两条: . 2 , 2  = −  y = y

高数课程妥媒血课件 镭理工大理>> 3斜渐近线 如果lim∫(x)-(ax+b=0 x→十 或Iim[f(x)-(ax+b)=0(a,b为常数) 那么y=ax+b就是y=∫(x)的一条斜渐近线 斜渐近线求法: f(x) a, lieff(x)-ax=b 那么y=ax+b就是曲线y=∫(x)的一条斜渐近线 Http://www.heut.edu.cn

3.斜渐近线 ( ) . lim [ ( ) ( )] 0 ( , ) lim [ ( ) ( )] 0 那 么 就 是 的一条斜渐近线 或 为常数 如 果 y ax b y f x f x ax b a b f x ax b x x = + = − + = − + = →−  →+  斜渐近线求法: , ( ) lim a x f x x = → lim[ f (x) a x] b. x − = → 那么 y = ax + b 就是曲线 y = f (x)的一条斜渐近线

高数课程妥媒血课件 镭理工大理>> 注意:如果 (1)lim /(r) 不存在; (2)lim f∫(x) a存在,但limf(x)-ax不存在, 可以断定y=f(x)不存在斜渐近线 例1求f(x) 2(x-2)(x+3) 的渐近线 解D:(-∞,1)∪(1,+∞) Http://www.heut.edu.cn

注意: ; ( ) (1) lim 不存在 如 果 x f x x→ , lim[ ( ) ] , ( ) (2) lim a 存 在 但 f x ax 不存在 x f x x x = − → → 可以断定 y = f (x) 不存在斜渐近线. 例1 . 1 2( 2)( 3) 求 ( ) 的渐近线 − − + = x x x f x 解 D : (− ,1)  (1,+ )

高数课程妥媒血课件 镭理工大理>> limf(x)=-∞,limf(x)=+∞, ∴x=1是曲线的铅直渐近纟 又lim f(x) 2(x-2)(x+3) m 2 x→0 x→0 r(x lim 2(x-2)(x+3)2x x(x-1) 2(x-2)x+3)-2x(x-1)_ m 9 x→0 ∴y=2x+4是曲线的一条斜渐近线 Http://www.heut.edu.cn

= → + lim ( ) 1 f x x  − , = → − lim ( ) 1 f x x +  , x = 1是曲线的铅直渐近线. = → x f x x ( ) 又  lim ( 1) 2( 2)( 3) lim − − + →  x x x x x = 2, 2 ] ( 1) 2( 2)( 3) lim[ x x x x x x − − − + → 1 2( 2)( 3) 2 ( 1) lim − − + − − = → x x x x x x = 4,  y = 2x + 4 是曲线的一条斜渐近线

高数课程妥媒血课件 镭理工大理>> f(x)=2(x-2)(x+3) 的两条渐近线如图 100 50 50 100 Http://www.heut.edu.cn

的两条渐近线如图 1 2( 2)( 3) ( ) − − + = x x x f x

高数课程妥媒血课件 镭理工大理>> 二、图形描绘的步驟 利用函数特性描绘函数图形 第一步确定函数y=f(x)的定义域对函数进行奇 偶性、周期性、曲线与坐标轴交点等性态的讨论, 求出函数的一阶导数∫(x)和二阶导数∫(x); 第二步求出方程f(x)=0和∫(x)=0在函数定义 域内的全部实根,用这些根同函数的间断点或导数 不存在的点把函数的定义域划分成几个部分区间 Http://www.heut.edu.cn

利用函数特性描绘函数图形. 第一步 第二步 确定函数 y = f ( x)的定义域,对函数进行奇 偶性、周期性、曲线与坐标轴交点等性态的讨论, 求出函数的一阶导数 ( ) ' f x 和二阶导数 ( ) " f x ; 求出方程 ( ) 0 ' f x = 和 ( ) 0 " f x = 在函数定义 域内的全部实根，用这些根同函数的间断点或导数 不存在的点把函数的定义域划分成几个部分区间. 二、图形描绘的步骤

高数课程妥媒血课件 镭理工大理>> 第三步确定在这些部分区间内∫(x)和∫(x)的符 号,并由此确定函数的增减性与极值及曲线的凹 凸与拐点(可列表进行讨论); 第四步确定函数图形的水平、铅直渐近线、斜渐 近线以及其他变化趋势; 第五步描出与方程/(x)=0和∫(x)=0的根对 应的曲线上的点,有时还需要补充一些点,再综 合前四步讨论的结果画出函数的图形 Http://www.heut.edu.cn

第三步 确定在这些部分区间内 ( ) ' f x 和 ( ) " f x 的 符 号，并由此确定函数的增减性与极值及曲线的凹 凸与拐点（可列表进行讨论）； 第四步 确定函数图形的水平、铅直渐近线、斜渐 近线以及其他变化趋势; 第五步 描出与方程 ( ) 0 ' f x = 和 ( ) 0 " f x = 的根对 应的曲线上的点，有时还需要补充一些点，再综 合前四步讨论的结果画出函数的图形