河北理工学院：《高等数学》课程教学资源（PPT课件讲稿）第五章 定积分 习题课

高数课程妥媒血课件 镭理工大理>> 定积分习题课 生要内容 典烈例题 Http://www.heut.edu.cn

定积分习题课 主要内容 典型例题

高数课程妥媒血课件 镭理工大理>> 主要内容 问题1: 问题2 曲边梯形的面积 变速直线运动的路程 存在定理(定积分广义积分 的定 牛顿-莱布尼茨公式 计 定积 性积 质分 T'f(x)dx=F(b)-F(a) 法 分 Http://www.heut.edu.cn

问题1: 曲边梯形的面积 问题2: 变速直线运动的路程 存在定理 定积分 广义积分 定 积 分 的 性 质 定 积 分 的 计 算 法 牛顿-莱布尼茨公式 f (x)dx F(b) F(a) b a = −  一、主要内容

高数课程妥媒血课件 镭理工大理>> 的提出 实例1(求曲边梯形的面积A) 曲边梯形由连续曲线y=f(x)(f(x)≥0) x轴与两条直线x=、x=b所围成 A=lim∑f(5)△r Http://www.heut.edu.cn

实例1 （求曲边梯形的面积A） i n i A =  f i x = → lim ( ) 1 0   曲边梯形由连续曲线 y = f ( x)( f (x)  0)、 x轴与两条直线x = a 、x = b所围成. 1、问题的提出

高数课程妥媒血课件 镭理工大理>> 实例2(求变速直线运动的路程) 设某物体作直线运动,已知速度v=v(t)是时间 间隔[T1,T2lH的一个连续函数,且v(t)≥0,求 物体在这段时间内所经过的路程S. 方法:s=im∑v(r)M 分割、求和、取极限 Http://www.heut.edu.cn

实例2 （求变速直线运动的路程） i n i i s = v t = → lim ( ) 1 0   设某物体作直线运动，已知速度v = v(t)是时间 间隔[ , ] T1 T2 上t 的一个连续函数，且v(t)  0 ， 求 物体在这段时间内所经过的路程 S. 分割、求和、取极限. 方法:

高数课程妥媒血课件 镭理工大理>> 积分的定一 设函数f(x)在a,b上有界,在,b中任意 若干若干个分点 a=x.<x.<x.<∴<x,<x=b 把区间[a,6分成个小区间, 09119192 19 各小区间的长度依次为△x;=x1-x11,(i=1,2,…), 在各小区间上任取一点;(5∈△x1) Http://www.heut.edu.cn

设函数 f (x)在[a,b]上有界，在[a,b]中任意 若干若干个分点 a = x0  x1  x2  x n−1  x n = b 把区间[a,b]分成n个小区间， 各小区间的长度依次为xi = xi − xi−1，(i = 1,2, )， 在各小区间上任取 一点 i （ i  xi）， [ , ],[ , ], [ , ], x0 x1 x1 x2  xn−1 xn 2、定积分的定义 定义

高数课程妥媒血课件 理工大理>> 作乘积f(5)△x,(i=12,)并作和S=∑f(5)x 记=max{△x1,Ax2,…,△xn},如果不论对a,bl 怎样的分法,也不论在小区间x21,x;上点怎样 的取法,只要当元→>0时,和S总趋于确定的极限I, 我们称这个极限I为函数f(x)在区间a,6上的定积分, 记为Jf(x)==lm∑f(51)△ Http://www.heut.edu.cn

怎样的分法，  = = b a f (x)dx I i i n i  f x = → lim ( ) 1 0   . 也不论在小区间[ , ] xi−1 xi 上 的取法，只要当 → 0时，和S总趋于确定的极限I ， 在区间[a,b]上的定积分， 记为 记 max{ , , , } 1 2 n  = x x  x ，如果不论对[a,b] 我们称这个极限I 为函数 f (x) 作乘积 i xi f ( ) (i = 1,2, ) 点 i怎样 并作和 i i n i S =  f x = ( ) 1 

高数课程妥媒血课件 镭理工大理>> 3在在定理 可积的两个充分条件: 定理科当函数f(x)在区间[a,b上连续时, 称f(x)在区间[a,b上可积 理设函数f(x)在区间a,b上有界, 且只有有限个间断点,则f(x)在区间 a,b上可积 Http://www.heut.edu.cn

可积的两个充分条件： 当函数 f (x)在区间[a,b]上连续时， 设函数 f (x)在区间[a,b]上有界， 称 f (x)在区间[a,b]上可积. 且只有有限个间断点，则f (x) 在区间 [a,b]上可积. 3、存在定理 定理1 定理2

高数课程妥媒血课件 理工大理>> 积分的性质 b 质Jf(x)±g(x)=J(x)士g(x)tc 性质当f(x)x=kf(x)dxk为常数) 质假设a<C<b b f(x)kx=f(x)dx+」f(x) Http://www.heut.edu.cn

  b a [ f ( x) g( x)]dx  = b a f ( x)dx   b a g(x)dx  =  b a b a kf (x)dx k f (x)dx (k 为常数)  b a f (x)dx   = + b c c a f (x)dx f (x)dx 假设a  c  b 4、定积分的性质 性质1 性质2 性质3

高数课程妥媒血课件 理工大理>> b 1·dx dx= b 性质如果在区间a,b上f(x)≥0 则f(x)≥0(a<b) 论↓(1)如果在区间a,bl上f(x)≤g(x), 则f(xMsg(x(a<b) (2)LrEkdx f(x)dx (a<by Http://www.heut.edu.cn

则 ( )  0  f x dx b a (a  b) 如果在区间[a,b]上 f (x)  0， 则 f x dx b a ( ) g x dx b a  ( ) (a  b) （1） 如果在区间[a,b]上 f (x)  g(x)， f x dx b a ( ) f x dx b a  ( ) （2） (a  b) dx b a   1 dx b a 性质4 = = b − a 性质5 推论：

高数课程妥媒血课件 理工大理>> 质 设M及m分别是函数f(x)在区间[a,b 上的最大值及最小值, b 则m(b-a)≤f(x)dt≤M(b-a) (定积分中值定理) 如果函数f(x)在闭区间[a,b上连续, 则在积分区间[a,b上至少存在一个点 b 使!f(x)x=f(5)(b-a)(a≤5≤b) 积分中值公式 Http://www.heut.edu.cn

如果函数 f ( x)在闭区间[a,b]上连续， 则在积分区间[a,b]上至少存在一个点 ， 使 f x dx b a ( ) = f ( )(b − a) (a    b) 设M 及m分别是函数 则 m(b a) f (x)dx M(b a) b a −   −  . f (x) 在区间[a,b] 上的最大值及最小值， 积分中值公式 性质6 性质7 (定积分中值定理)