河北理工学院：《高等数学》课程教学资源（PPT课件讲稿）第九章 重积分（9.4）三重积分的概念和计算方法

高数课程妥媒血课件 镭理工大理>> 第九章重积分 ⊙二重积分 三重积分 重积分的应用 Http://www.heut.edu.cn

二重积分 三重积分 重积分的应用 第九章 重积分

高数课程妥媒血课件 镭理工大理>> 第四节三重积分的概念和详详 三量积分的概念 ●在直角坐标系下计算三重积分 小结 Http://www.heut.edu.cn

第四节 三重积分的概念和计算方法 三重积分的概念 小结 在直角坐标系下计算三重积分

高数课程妥媒血课件 镭理工大理>> 、三重积分的定义 设f(x,y,z)是空间有界闭区域2上的有界 函数,将闭区域2任意分成个小闭区址v1 AH2,…,△vn,其中△表示第个小闭区域,也 表示它的体积,在每个A上任取一点(,m,4 作乘积f(5,m;,f;)△v,(i=1,2,…,n),并作和, 如果当各小闭区域的直径中的最大值超近于零 时,这和式的极限存在,则称此极限为函数 f(x,y,z)在闭区域2上的三重积分,记为 ∫(x,cb, Http://www.heut.edu.cn

设 f ( x, y,z)是空间有界闭区域 上的有界 函数，将闭区域 任意分成n 个小闭区域 1 v ， 2 v ,, n v ，其中 i v 表示第i 个小闭区域，也 表示它的体积, 在每个 i v 上任取一点( , , )  i i  i 作乘积 i i i i f ( , , ) v ，(i = 1,2,,n)，并作和, 如果当各小闭区域的直径中的最大值 趋近于零 时，这和式的极限存在，则称此极限为函数 f ( x, y,z)在闭区域 上的三重积分，记为   f (x, y,z)dv, 一、三重积分的定义

高数课程妥媒血课件 镭理工大理>> 即∫(x,,x)=im∑5,n,51)△P 其中叫做体积元素 在直角坐标系中,如果用平行于坐标面 的平面来划分2,则△v1=△xAy△乙 三重积记为 ∫x,)dd=m/(5,n,5)△n 其中ad叫做直角坐标系中的体积元素 Http://www.heut.edu.cn

即   f (x, y,z)dv i i i n i i =  f v = → lim ( , , ) 1 0     . 其 中dv 叫做体积元素. 的平面来划分 , 在直角坐标系中，如果用平行于坐标面 . i j k l 则v = x y z 三重积记为   f (x, y,z)dxdydz i i i n i i =  f v = → lim ( , , ) 1 0     . 其中dxdydz叫做直角坐标系中的体积元素

高数课程妥媒血课件 镭理工大理>> 二、三重积分的计算 直角坐标系中将三重积分化为三次积分 如图,闭区域在xOy z=2(x,y) 面上的投影为闭区域D x1(x,y), S,:i=2x,y) 不1x,y) 过点(x,y)∈D作直线, D J 从z1穿入,从z2穿出 力y=y2(x) y=y,(x) Http://www.heut.edu.cn

直角坐标系中将三重积分化为三次积分． x y z o  D 1 z 2 z S2 S1 ( , ) 1 z = z x y ( , ) 2 z = z x y a b ( ) y = y1 x ( ) (x, y) y = y2 x 如图， D, xoy 面上的投影为闭区域 闭区域  在 : ( , ), : ( , ), 2 2 1 1 S z z x y S z z x y = = 过点(x, y) D 作直线, 从 z1 穿入，从 z2 穿出． 二、三重积分的计算

高数课程妥媒血课件 镭理工大理>> 先将x,y看作定值,将f(x,y,z)只看作z的 函数,则 z2(x,y) F(x,y) f(,v, z)dz GI(r,y) 计算F(x,y)在闭区间D上的二重积分 ∫F(xy)lg=j∫ y f(x,y, z)dado (x,y) D:y1(x)≤y≤y2(x),a≤x≤b,得 tt p : // h

函数，则 先将 x, y 看作定值，将 f (x, y,z)只看作 z 的  = ( , ) ( , ) 2 1 ( , ) ( , , ) z x y z x y F x y f x y z dz 计算 F(x, y) 在闭区间 D 上的二重积分 ( , ) [ ( , , ) ] . ( , ) ( , ) 2 1    = D z x y z x y D F x y d f x y z dz d : ( ) ( ), , D y1 x  y  y2 x a  x  b 得

高数课程妥媒血课件 镭理工大理>> ∫』 f(x, y, zdi Q 4 y2(x) u2(x,y) dx f(x,y, dz. V(x G,(x,y) 注意这是平行于z轴且穿过闭区域Ω内部的 直线与闭区域Ω的边界曲面S相交不多 于两点情形 Http://www.heut.edu.cn

=   f (x, y,z)dv ( , , ) . ( ) ( ) ( , ) ( , ) 2 1 2 1    b a y x y x z x y z x y dx dy f x y z dz 注意 于两点情形． 直线与闭区域 的边界曲面 相交不多 这是平行于 轴且穿过闭区域 内部的 S z  

高数课程妥媒血课件 镭理工大理>> 例1化三重积分I=∫(x,y,z)d小为三 次积分,其中积分区域2为由曲面z=x2+2y2 及z=2-x2所围成的闭区域 「z=x2+2p2 0 0.5 解由 2-x 2 得交线投影区域 x2+y2≤1, Http://www.heut.edu.cn

例 1 化三重积分   I = f (x, y,z)dxdydz为三 次积分，其中积分区域 为由曲面 2 2 z = x + 2 y 及 2 z = 2 − x 所围成的闭区域. 解 由    = − = + 2 2 2 2 2 z x z x y , 得交线投影区域1, 2 2 x + y 

高数课程妥媒血课件 镭理工大理>> l<x<1 故Ω 2∠y √1-x 2 x+2y≤z≤2-x =1小 f(x,y, z)dz x2+2 y Http://www.heut.edu.cn

故 ：      +   − − −   − −   2 2 2 2 2 2 2 1 1 1 1 x y z x x y x x , ( , , ) . 1 1 2 2 1 1 2 2 2 2 −  2  − + − − −  = x x y x x I dx dy f x y z dz

高数课程妥媒血课件 镭理工大理>> 例2化三重积分=f(x,y,x)c为三 次积分,其中积分区域 2 C为由曲面z=x2+y 2 J = ,y=1,z=0所围 成的空间闭区域如图, 解g2:0≤z≤x2+y2 0.5 x2≤y≤1,-1≤x≤1 I=,a”f(x,y,t tt p : // h

例2 化三重积分  I = f ( x, y,z)dxdydz为三 次积分，其中 积分区域 为由曲面 2 2 z = x + y , 2 y = x , y = 1, z = 0所围 成的空间闭区域. −   + = 11 0 1 2 2 2 ( , , ) x y x I dx dy f x y z dz. 解 1, 1 1. : 0 , 2 2 2   −      + x y x z x y 如图