河北理工学院：《高等数学》课程教学资源（PPT课件讲稿）第十一章 无穷级数（11.8）周期为2L的周期函数的傅立叶级数

高数课程妥媒血课件 镭理工大理>> 第八节 多毫 以2为周期的函数的博氏级数 典型例题 小结 Http://www.heut.edu.cn

第八节 周期为2L的周期函数的傅立叶级数 以2L为周期的函数的傅氏级数 小结 典型例题

高数课程妥媒血课件 镭理工大理>> oo 2 +∑( (a, cos nax+b, sin ax n-=1 2 T T=2l r=·代入傅氏级数中 以2L为周期的函数的嘗氏级数 」设周期为的周期函数f(x)满足收敛 定理的条件则它的傅里叶级数展开式为 J(x)= nUx nTx an, cos+b, sin-) 2 +∑( H-=1 Http://www.heut.edu.cn

T = 2l, . 2 T l  =   = 定理的条件 则它的傅里叶级数展开式 为 设周期为 的周期函数 满足收敛 , 2l f (x) ( cos sin ), 2 ( ) 1 0 l n x b l n x a a f x n n n  +  = +  = ( cos sin ) 2 1 0 a n x b n x a n n  n    = + + 代入傅氏级数中 定理 一、以2L为周期的函数的傅氏级数

高数课程妥媒血课件 镭理工大理>> 其中系数an,b为 nTur X)cos (n=0,1,2,…) nTr xsin dx,(n=1,2,…) (1)如果f(x)为奇函数,则有 f(x)=∑b,sin nit -=1 其中系数bn为b,=f(x)sin nTtr 0 ,(n=1,2 Http://www.heut.edu.cn

其中系数an , bn为 ( )cos , ( 0,1,2, ) 1 =   = − dx n l n x f x l a l l n ( )sin , ( 1,2, ) 1 =   = − dx n l n x f x l b l l n (1)如 果f (x)为奇函数, 则有 ( ) sin , 1   =  = n n l n x f x b ( )sin , 2 0 dx l n x f x l b b l n n   其中系数 为 = (n = 1,2, )

高数课程妥媒血课件 镭理工大理>> (2)如果f(x)为偶函数,则有 f(x)=20+ ∑a nTur a. cos 2 H-=1 T 其中系数a为, f(r)cos dx (n=0,1,2,… 证明令z=,-l≤x≤→-π≤z≤π, 设f(x)=f()=F(x),F()以2m为周期 F(z)=+2(a, cos nz+b, sin nz), Http://www.heut.edu.cn

(2)如果f (x)为偶函数, 则有 cos , 2 ( ) 1 0   =  = + n n l n x a a f x dx l n x f x l a a l n n   = 0 ( )cos 2 其中系数 为 (n = 0,1,2, ) 证明 , l x z  令 = − l  x  l  −  z  , ( ) ( ) F(z), lz f x f =  设 = F(z)以2为周期. ( cos sin ), 2 ( ) 1 0 a nz b nz a F z n n = +  n +  =

高数课程妥媒血课件 镭理工大理>> 其中 ∫F() cos nzd, ∫"f F(asin nzdz. 7r F(=f(r) f(x)=+2(a, cos x+b, sin" x 2 其中 ngt f(a)cos xdx, n=()m n7 Http://www.heut.edu.cn

( cos sin ) 2 ( ) 1 0 x l n x b l n a a f x n n n  +  = +  = ( )sin . 1 ( )cos , 1    −  −  =  = b F z nzdz a F z nzdz n 其中 n ( )sin . 1 ( )cos , 1   − −  =  = l l n l l n xdx l n f x l b xdx l n f x l 其中 a F(z) f (x) l x z =   =

高数课程妥媒血课件 镭理工大理>> 二、典型例题 例1设f(x)是周期为4的周期函数它在-22) 0-2≤x<0 上的表达式为f(x)= 将其展 0≤x<2 成傅氏级数 解∵l=2,满足狄氏充分条件 Odx+kdx=k, 2J-2 2 Http://www.heut.edu.cn

k − 2 x y − 4 0 2 4 设 f ( x)是周期为 4 的周期函数,它在[−2,2) 上的表达式为      −   = 0 2 0 2 0 ( ) k x x f x , 将其展 成傅氏级数. 解 l = 2, 满足狄氏充分条件.   = + − 2 0 0 2 0 2 1 0 2 1 a dx kdx = k, 例 1 二、典型例题

高数课程妥媒血课件 镭理工大理>> k cos n xdx=0,(n=1,2,…) 2 not k. sin xdx =-(1-cos nT) nT 2K 当n=1,3,5 nC 0当n=2,4,6, k 2k gtx 31.5 ∴f(x)=+(in+sin+ SIn +…) 2 23 252 (-0<x<+∞;x≠0,+2,4,) Http://www.heut.edu.cn

   2 0 2 cos 2 1 xdx n k = 0,   =  2 0 2 sin 2 1 xdx n bn k (1− cos )  = n n k , 0 2,4,6, 1,3,5, 2      = = =    n n n k 当 当 ) 2 5 sin 5 1 2 3 sin 3 1 2 (sin 2 2 ( ) +  +  +    = + k k x x x f x (−  x  +; x  0,2,4, ) an = (n = 1,2, )

高数课程妥媒血课件 理工大理>> 例2将函数f(x)=10-x(5<x<10)展开成傅氏 级数 解作变量代换z=x-10, 5<x<10→-5<z<5, f(x)=∫(z+10)=-z=F(z), 补充函数F(z)=-z(-5<z<5)的定义, 令F(-5)=5,然后将F(z)作周期延拓(T=10) 这拓广的周期函数满足收敛定理的条件 且展开式在(-5,5)收敛于F(z) Http://www.heut.edu.cn

将函数 f (x) = 10 − x (5  x  10)展开成傅氏 级数. 解 作变量代换 z = x −10, 5  x  10  −5  z  5, f (x) = f (z + 10) = −z = F(z), 补充函数 F(z) = −z (−5  z  5)的定义, 令 F(−5) = 5, 然后将F(z)作周期延拓(T = 10) 这拓广的周期函数满足收敛定理的条件, 且展开式在(−5, 5)内收敛于F(z). 例 2

高数课程妥媒血课件 镭理工大理>> 0,(n=0,1,2,) nICE -SiN 5 2 505105 10 (-1) n= n元 F()=10y(-y nIZ SIn (-5<x<5 兀mn 5 10-x 10(-1) ∑ not sin["(x-10) 5 n=] 10(-1)"m兀 SIn (5<x<15) T n=1 tt p : // h

x y F(z) − 5 0 5 10 15 a = 0, (n = 0,1,2, ) n   = − 5 0 2 ( )sin 5 2 dz n z b z n , 10 ( 1)  = − n n (n = 1,2, ) , 5 sin 10 ( 1) ( ) 1   = −   = n n n z n F z (−5  z  5)   = − −    − = 1 ( 10)] 5 sin[ 10 ( 1) 10 n n x n n x . 5 sin 10 ( 1) 1   = −   = n n x n n (5  x  15)

高数课程妥媒血课件 镭理工大理>> [另解] an=55 (10-x)cos T 5 5 2/5 nTr 15 nTr cOS r cos dx=0,(n=1,2,) 5 5 5 (10-x)d=0 5 nTcr 10 bn =5(10-x)sin tx=(-1) ,(n=1,2, 5 故∫(x)=10-x= 10÷(-1)":n兀 SIn H=1 n 5 (5<x<15) Http://www.heut.edu.cn

[另解]   = − 15 5 5 (10 )cos 5 1 dx n x an x   = − 15 5 5 (10 )sin 5 1 dx n x b x n    −  = 15 5 15 5 5 cos 5 1 5 2 cos dx n x dx x n x = 0, =  − 15 0 5 (10 ) 5 1 a x dx = 0, , 10 ( 1) n n = − (n = 1,2, )   = −   = − = 1 5 sin 10 ( 1) ( ) 10 n n x n n 故 f x x (5  x  15) (n = 1,2, )