河北理工学院：《高等数学》课程教学资源（PPT课件讲稿）第十二章 微分方程（12.7）二阶常系数非齐次线性微分方程

高数课程妥媒血课件 镭理工大理>> 第七节 ●(x)=ePn(x)型 e f(x)=el(p,(x)cos ax +Pm(x)sin ax) Ay 小结 Http://www.heut.edu.cn

第七节 二阶常系数非齐次线性微分方程 f(x) = e λ x pm (x)型 小结 f (x) = e x ( pl (x)cosx + pm (x)sinx)型

高数课程妥媒血课件 镭理工大理>> f(x)=ePn(x)型 y"+py+qy=∫(x)二阶常系数非齐次线性方程 对应齐次方程y"+py+qy=0, 通解结构y=Y+y, 常见类型Pn(x),P(x)ex, Pm(x)e cos Br, Pn(x)e sin Rx, 难点:如何求特解?方法:待定系数法 Http://www.heut.edu.cn

y + py + qy = f (x) 二阶常系数非齐次线性方程 对应齐次方程 y + py + qy = 0, 通解结构 y = Y + y, 常见类型 P (x), m ( ) , x mP x e  P (x)e cos x, x m   P (x)e sin x, x m   难点：如何求特解？ 方法：待定系数法. 一 、f (x) = e x Pm (x)型

高数课程妥媒血课件 镭理工大理>> 设非齐方程特解为y=Q(x)e代入原方程 Q(x)+(24+p)Q(x)+(+p元+q)Q(x)=Pn(x) (1)若不是特征方程的根,2+p+q≠0, 可设Q(x)=Qn(x),y=Qn(x)e; (2)若4是特征方程的单根, 22+p+q=0,2+p≠0, 可设Q(x)=xQn(x),y=x(x)e; Http://www.heut.edu.cn

设非齐方程特解为 x y Q x e  = ( ) 代入原方程 ( ) (2 ) ( ) ( ) ( ) ( ) 2 Q  x +  + p Q x +  + p + q Q x = Pm x (1) 若不是特征方程的根， 0, 2  + p + q  Q(x) Q (x), 可设 = m (2) 若是特征方程的单根， 0, 2  + p + q = 2 + p  0, Q(x) xQ (x), 可设 = m ( ) ; x m y Q x e  = ( ) ; x m y xQ x e  =

高数课程妥媒血课件 镭理工大理>> (3)若是特征方程的重根, 2+p九+q=0,2+p=0, 可设Q(x)=x2Qn(x),y=x2n(x)e 综上讨论 0元不是根 设=xe“Qn(x),k=114是单根, 2λ是重根 注意 上述结论可推广到n阶常系数非齐次线性 微分方程(k是重根次数) Http://www.heut.edu

(3) 若是特征方程的重根， 0, 2  + p + q = 2 + p = 0, ( ) ( ), 2 可设Q x = x Qm x y x e Q (x) , m k x 设 =         = 是重根 是单根 不是根 2 1 , 0 k 上述结论可推广到n阶常系数非齐次线性 微分方程（k是重根次数）. ( ) . 2 x m y x Q x e  = 注 意 综上讨论

高数课程妥媒血课件 镭理工大理>> 特别地y"+py+gy=Ae )x+B2e,4不是特征方程的根 xe是特征方程的单根 2元+p λ是特征方程的重根 Http://www.heut.edu.cn

特别地 x y py qy Ae  +  + =          + + + = 是特征方程的重根 是特征方程的单根 不是特征方程的根          x x x x e A xe p A e p q A y 2 2 2 , 2

高数课程妥媒血课件 镭理工大理>> 例1求方程y-3y+2y=xe2的通解 解特征方程r-3r+2=0, 特征根F=1,r2=2, 对应齐次方程通解Y=c;e+c2e2x =2是单根,设y=x(Ax+B)e2x 代入方程,得24x+B+2A=x 2 B=-1 于是p=x(x-1)e2x 2 原方程通解为y=C1e+C2e+x(x-1)e2 Http://www.heut.edu.cn

3 2 . 求方程 y − y + y = xe 2 x 的通解 解 对应齐次方程通解 特征方程 3 2 0, 2 r − r + = 特征根 r1 = 1，r2 = 2， , 2 1 2 x x Y = c e + c e  = 2 是单根， ( ) , 2 x 设 y = x Ax + B e 代入方程, 得 2Ax + B + 2A = x , 1 2 1      = − =  B A x y x x e 2 1) 2 1 于是 = ( − 原方程通解为 1) . 2 1 ( 2 2 1 2 x x x y = C e + C e + x x − e 例1

高数课程妥媒血课件 镭理工大理>> f(x)=e[P(x)cos ax+ P,(x)sin ax Iy f(x)= e"p cos ax+ P sin ax]利用欧拉公式 e te e P +p 2 (a+jo)x le(a-ja 22 De 22 P(xe (九+j)x +P(r)e (-j0)x 设y”+m+q=P(x)+,y1=x“Qe(ox, Http://www.heut.edu.cn

f (x) e [P cos x P sin x] l n x    = + ] 2 2 [ j e e P e e e P j x j x n j x j x l x      − − − + + = l n j x l n j x e j P P e j P P ( ) ( ) ) 2 2 ) ( 2 2 (  +   −  = + + − ( ) ( ) , ( j ) x ( j ) x P x e P x e  +   −  = + ( ) , ( j ) x y py qy P x e +  设  +  + = , ( ) 1 j x m k y x Q e +  = 利用欧拉公式 二 、f (x) = e x [Pl (x)cosx + Pn (x)sinx]型

高数课程妥媒血课件 镭理工大理>> 设y"+py+qy=P(x)e a-jo)x h,=xoe (n-jo)x ∴J=xe Iome/+ome j x rm (x)cos axt Rm()sin a, 其中Rm(x),R2m2(x)是m次多项式,m=max{,n} 0±jo不是根 注 1±jo是单根 意 上述结论可推广到n阶常系数非齐次线性微分方程 Http://www.heut.edu.cn

( ) , ( j ) x y py qy P x e −  设  +  + = , ( ) 1 j x m k y x Q e −  = [ ] j x m j x m k x y x e Q e Q e   −   = + [ ( )cos ( )sin ], (1) (2) x e R m x x R m x x k x    = + 其中Rm (1) (x),Rm (2) (x)是m次多项式，m = maxl,n , 1 0          = 是单根 不是根 j j k 上述结论可推广到n阶常系数非齐次线性微分方程. 注 意

高数课程妥媒血课件 镭理工大理>> 例2求方程y+y=4sinx的通解 解对应齐方通解Y=C1csx+C2sinx, 作辅助方程y"+y=4ek 元=j是单根,故y=Axe", 代入上式24=4,∴A=-2j, y=-2 jxe= 2x sin x-(2x cos x)j, 所求非齐方程特解为卩=-2 cost,(取虚部) 原方程通解为y=C1cosx+C2sinx-2 x cos x. Http://www.heut.edu.cn

求方程 y + y = 4sin x的通解. 解 对应齐方通解 cos sin , Y = C1 x + C2 x 作辅助方程 4 , jx y + y = e  = j 是单根, , * jx 故 y = Axe 代入上式 2Aj = 4,  A = −2 j, 2 2 sin (2 cos ) , * y jxe x x x x j j x  = − = − 所求非齐方程特解为 y = −2xcos x, 原方程通解为 cos sin 2 cos . y = C1 x + C2 x − x x （取虚部） 例2

高数课程妥媒血课件 镭理工大理>> 例3求方程y"+y=xcos2x的通解 解对应齐方通解Y=C1c0sx+C2sinx, 作辅助方程y"+y=xe2k =2j不是特征方程的根 设y=(4x+B)e2,代入辅助方程 4-3B=0 g B -3A=1 2 jx Http://www.heut.edu.cn

求方程 y + y = xcos 2x的通解. 解 对应齐方通解 cos sin , Y = C1 x + C2 x 作辅助方程 , 2 jx y + y = xe  = 2 j 不是特征方程的根, ( ) , * 2 jx 设 y = Ax + B e 代入辅助方程    − = − = 3 1 4 3 0 A Aj B , 9 4 3 1  A = − ，B = − j ) , 9 4 3 1 ( * 2 jx  y = − x − j e 例3