温州职业技术学院：《高等应用数学》第三章 积分与定积分（3.1）定积分-求总量的模型

一背景 无限细分,无限求和”的积分思想在古代就已 经萌牙.最早可以追溯到希腊由阿基米德 ( Archimedes,287BC~212BC)等人提出的 计算面积和体积的方法.后来也逐步得到了一系列 求面积(积分)、求切线斜率(导数)的重要结果 但这些结果都是孤立的,不连贯的.直到17世纪

“无限细分，无限求和”的积分思想在古代就已 经萌牙．最早可以追溯到希腊由阿基米德 （Archimedes ，287 BC～212 BC）等人提出的 计算面积和体积的方法．后来也逐步得到了一系列 求面积（积分）、求切线斜率（导数）的重要结果， 但这些结果都是孤立的，不连贯的．直到17世纪， 背 景

背景 莱布尼兹和牛顿才将积分和微分真正沟通起来,明 确地找到了两者内在的直接联系,确立微分和积分 是互逆的两种运算.建立了微积分学 莱布尼兹创立了积分符号∫x·这些符号进步 促进了微积分学的发展,并一直沿用至今

莱布尼兹和牛顿才将积分和微分真正沟通起来，明 确地找到了两者内在的直接联系，确立微分和积分 是互逆的两种运算．建立了微积分学． dx  背 景 促进了微积分学的发展，并一直沿用至今． 莱布尼兹创立了积分符号 ．这些符号进一步

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第一节 定积分－求总量的模型 3.1.1 定积分的概念及性质 3.1.2 微元法

3.1.1定积分的概念及性质 一、案例 ■二、概念和公式的引出 click Here

3.1.1 定积分的概念及性质 一、案例 二、概念和公式的引出

、案例[曲边梯形的面积] 曲边梯形由连续曲线 y=f(x)(f(x)≥0)、x轴 y=f() 与两条直线x=a2x=b 所围成。 播放 高等应用数学CAⅠ电子教案 上页下页迅回

一、案例[曲边梯形的面积] 曲边梯形由连续曲线 与两条直线 x = a, x = b 所围成。 y = f (x)( f (x)  0)、x 轴

用矩形面积近似取代曲边梯形面积 播放 显然,小矩形越多,矩形总面积越接近曲边梯形面积 高等应用数学CAⅠ电子教案 上页下页迅回

用矩形面积近似取代曲边梯形面积 显然，小矩形越多，矩形总面积越接近曲边梯形面积．

观察下列演示过程,注意当分割加细时,矩 形面积和与曲边梯形面积的关系 3个分割点的图示 1.(上和-下和) 1.05556(积分近似值) 高等应用数学CAⅠ电子教案 上页下页迅回

播放 观察下列演示过程，注意当分割加细时，矩 形面积和与曲边梯形面积的关系：

在区间a,b内插入若干个分点 a=x0<x1<…<xn1<xn=b 把区间,b分成n个小区间 [x1,x](i=1,2 长度为Ax=x,-x1 在每个小区间[x1,x1 上任取一点5,以x1,x 为底f()为高的小矩形面积为 A1=f(9;)△; 高等应用数学CAⅠ电子教案 上页下页迅回

在区间[a,b]内插入若干个分点 把区间[a,b]分成n个小区间 i i xi A = f ( ) a = x0  x1  xn−1  xn = b [ , ] i 1 i x x − 长度为  i = i − i−1 x x x 在每个小区间 [ , ] i 1 i x x − 上任取一点 , i 以 [ , ] i 1 i x x − 为底， f (i ) 为高的小矩形面积为 （i=1,2,…，n）

曲边梯形面积的近似值为 A≈∑f(5)△x 当分割无限加细,即小区间的最大长度 =max{△x1,△x2,…△xn} 趋近于零(4→>0)时,曲边梯形面积为 A=Iim∑f(5)x 高等应用数学CAⅠ电子教案 上页下页迅回

i n i A   f i x = ( ) 1  曲边梯形面积的近似值为 i n i i A =  f x = → lim ( ) 1 0   max{ , , } 1 2 n  =    x x x 当分割无限加细，即小区间的最大长度 趋近于零 ( 0)  → 时，曲边梯形面积为

概念和公式的引出 定积分设函数(x)在区间a上有界在区间ab 内任意插入n1个分点,a=x<x<…<x1<x=b 把区间ab分成n个小区间[o,x1[k1,x]…[xmx 各个小区间的长度依次为 x,△ △x 在每个小区间,x上任取一点5(x1≤51≤x),作和式 S=∑f(5)x 高等应用数学CAⅠ电子教案 产页下页回

把区间[a,b]分成n个小区间  , , x0 x1     n n x , x , , x , x 1 2  −1 各个小区间的长度依次为 1 1 0 2 2 1 1 , , ,  = −  = −  n = n − n− x x x x x x  x x x 在每个小区间   i i x , x −1 上任取一点 ( ) i i 1 i i x   x  −  ，作和式  ( ) = =  n i i i S f x 1  a x x x x b n n =     = 内任意插入n-1个分点， 0 1  −1 定积分 设函数f (x)在区间[a,b]上有界．在区间[a,b] 二、 概念和公式的引出