温州职业技术学院：《高等应用数学》第一章 函数与极限（1.3）函数的连续性

第三节函数的连续性 案例 二、概念和公式的引出 三、进一步练习 click Here

第三节 函数的连续性 一、案例 二、概念和公式的引出 三、进一步练习

、案例[人体高度的连续变化] 我们知道,人体的高度h是时间的函数h(), 随着的变化而连续变化。事实上,当时间的 变化M很微小时,人的高度的变化M也很微小, 即当t→>0时,Mh->0。 由此可见,可以用极限给出函数连续的概念。 高等应用数学CAⅠ电子教案 产页下页回

一、 案例 [人体高度的连续变化 ] 我们知道，人体的高度h是时间t的函数h(t)， 由此可见，可以用极限给出函数连续的概念。 h随着t的变化而连续变化。事实上，当时间t的 变化 t 很微小时，人的高度的变化 h 也很微小， 即当 t → 0 时， h → 0

概念和公式的引出 国数的静置若设变量从一个初值变到终值吃 终值与初值之差l2u1称为变量的增量,记作△a。 即 △L=l2=11 设函数f(x)在点x的附近内有定义,当自变量x在点x 取得增量Δx=x-x时,函数 ∫(x)相应的增量为(如右图) y=f(x0+△x)-f(xo) 高等应用数学CAⅠ电子教案 上下回

二、 概念和公式的引出 函数的增量 若设变量u从一个初值u1变到终值u2， 终值与初值之差u2 -u1称为变量u的增量，记作 u 。 即 u = u2 −u1 设函数f (x)在点x0的附近内有定义，当自变量x在点x0 取得增量 0 x = x − x 时，函数 ( ) ( ) 0 0 y = f x + x − f x f (x)相应的增量为（如右图）

函数连续设函数(在点的附近有定义,若 imAy=0,(或mf(x)=f(x),则称函数(x)在点x △x→>0 x→x 连续,否则称函数(x)在点x间断 如果函数(x)在开区间(a,b)内每点连续,则称函数 f(x)在开区间内连续。 高等应用数学CAⅠ电子教案 产页下页回

函数连续 设函数f(x)在点x0的附近有定义，若 连续，否则称函数f(x)在点x0间断。 如果函数f(x)在开区间（a,b) 内每点连续，则称函数 lim 0 0  =  → y x lim ( ) ( )0 0 f x f x x x = ，（或 → ），则称函数f(x)在点x0 f(x)在开区间内连续

函数f(x)在点x连续,必须满足下列三个条件 (1)函数f(x)在点x处有定义 (2)mf(x)存在; (3 lim f(x)=f(xo) x→>x0 简单地说,连续函数的图形能一笔画成。 高等应用数学CAⅠ电子教案 上页下页迅回

简单地说，连续函数的图形能一笔画成。。 函数f (x)在点x0连续，必须满足下列三个条件： （1）函数f (x)在点x0处有定义； （2） lim ( ) 0 f x x→x 存在； （3） 0 0 lim ( ) ( ) x x f x f x → =

由函数连续的定义可以看出:函数f(x)在点x连续 函数f(x)在点处连续→1mf(x)=f(x0 即若函数f(x)在点x连续,则函数/(x)在点x处的 极限等于函数(x)在点x处的函数值/(xo 高等应用数学CAⅠ电子教案 产页下页回

由函数连续的定义可以看出：函数f (x)在点x0连续 函数 f (x)在点x0处连续  lim ( ) ( )0 0 f x f x x x = → 即 若函数f (x)在点x0连续，则函数f (x)在点x0处的 极限等于函数f (x)在点x0处的函数值f (x0 )

根据函数y=f(x)在点x处的极限情况,函数的间断点 可分为以下两类 第一类间断点:m(x)m(x)都存在的间断点; 第二类间断点:不为第一类间断点的间断点 高等应用数学CAⅠ电子教案 产页下页回

根据函数y= f (x)在点x0处的极限情况，函数的间断点 可分为以下两类： 第一类间断点： 第二类间断点：不为第一类间断点的间断点． x→ lim x0 +0 f (x) 、 x→ lim x0 −0 f (x) 都存在的间断点；

进一步练习 ←练习1[电流的连续性] 如导线中电流通常是连续变化的,但当电流 增加到一定的程度,会烧断保险丝,电流就 突然为0,这时连续性被破坏而出现间断。 高等应用数学CAⅠ电子教案 产页下页回

三、 进一步练习 练习1 [电流的连续性] 如导线中电流通常是连续变化的，但当电流 突然为0，这时连续性被破坏而出现间断。 增加到一定的程度，会烧断保险丝，电流就

练习2[矩形波的连续性 无线电技术中会遇到如图所示的 电压波形(矩形波),显然电压在 2l,-l,0,l,2l等处发生间断。 播放 高等应用数学CAⅠ电子教案 上页下页迅回

练习2 [矩形波的连续性] 无线电技术中会遇到如图所示的 -2l , -l , 0 , l , 2l 等处发生间断。 电压波形（矩形波），显然电压在

练习3[出租车费] 设某城市出租车白天的收费(单位元) 与路程x(单位:km)之间的关系为 5+1.2x,0≤x≤7 f(x) 134+2.1(x-7)x>7 (1)求lmf(x) (2)f(x)是连续函数吗? 高等应用数学CAⅠ电子教案 上页下页迅回

练习3 [出租车费] 设某城市出租车白天的收费y(单位:元) 7 0 7 13.4 2.1( 7) 5 1.2 , ( )       + − + = x x x x f x lim ( ) 7 f x （ x→ 1）求 （2） f (x) 是连续函数吗？ 与路程x（单位:km）之间的关系为：