温州职业技术学院：《高等应用数学》第五章（5.4）拉普拉斯的逆变换及其性质

5.4拉普拉斯的逆变换及其性质 一、案例 ■二、概念和公式的引坐 ■三、进一步的练习 click Here

5.4 拉普拉斯的逆变换及其性质 一、案例 二、概念和公式的引出 三、进一步的练习

一、案例[自动控制] 拉氏逆变换是由象函数求原函数.如在自 动控制中,利用拉氏变换可以将常系数微 分方程变换为象函数的代数方程求解,但 最后,又需要再将象函数的代数方程解还 原为微分方程的解 高等应用数学CAⅠ电子教案 上页下页迅回

一、案例 [自动控制] 拉氏逆变换是由象函数求原函数．如在自 动控制中，利用拉氏变换可以将常系数微 分方程变换为象函数的代数方程求解，但 最后，又需要再将象函数的代数方程解还 原为微分方程的解．

概念和公式的引出 拉氏逆变换若F(D)为f(1)的拉氏变换,则称f( 为F(p)的拉普拉斯逆变换,记作 f(1)=L[F(p) 高等应用数学CAⅠ电子教案 产页下页回

二、 概念和公式的引出 拉氏逆变换 若F (p)为f (t)的拉氏变换，则称f (t) ( ) [ ( )] 1 f t L F p − = 为F (p)的拉普拉斯逆变换，记作

拉氏变换具有如下性质 性质1(线性性质) L[a1F(t)+a2F2()=a1f(p)+a2f2() 性质2平移性质) T IF(p-al=e f(t) 性厦8(延滑性质) Tef(pl=f(t-a)u(t-a) 高等应用数学CAⅠ电子教案 上页下页迅回

拉氏变换具有如下性质： 性质1(线性性质) 性质2(平移性质) [ ( ) ( )] ( ) ( ) 1 1 2 2 1 1 2 2 1 L a F t + a F t = a f p + a f t − [ ( )] ( ) 1 L F p a e f t at − = − 性质3(延滞性质) [ ( )] ( ) ( ) 1 L e F p f t a u t a ap = − − − −

]三、进一步的练习 练习1 求下列象函数的逆变换 1)F(p)=(p 3)3 2)F<2 (3)F(p)4p-3 (4)F(=~2p+3 2-2p+5 高等应用数学CAⅠ电子教案 产页下页回

三、进一步的练习 练习1 求下列象函数的逆变换 (1) 1 ( ) ( 3)3 F p p = − (2) 2 5 ( ) 2 p F p p − = (3) 4 3 ( ) 2 4 p F p p − = + (4) 2 3 ( ) 2 2 5 p F p p p + = − +

解(1)由性质2及拉氏变换表得 f(0)=11=e (P-3 2! L[3]=t2 p 2 (2)f()=C-l2 P25 =2L]-5-1 2-5t 高等应用数学CAⅠ电子教案 上页下页迅回

解 (1) 由性质2及拉氏变换表得 ] ( 3) 1 ( ) [ 3 1 − = − P f t L ] 2! [ 2 3 1 2 p L e t − = ] 1 [ 3 2 1 P e L t − = t t e 2 2 2 1 = 1 2 5 (2) ( ) [ ] 2 p f t L p − − = 2 [ ] 5 [ ] 1 1 1 1 2 L L p p − − = − = −2 5t

(3)/()=L-14-3 +4 4 p2+4-L-2 2+4 4cos 2t-5 Sin 2t (4)f()=L 2 2P+/x2(P-1)+ 2P+3 (P-1)2+4 2l +- (P-1)2+4」2(P-1)2+4 2e'L-I +=eL- p2+42 P+4 2e cos 2t +-sin 2t 高等应用数学CAⅠ电子教案 上页下页迅回

1 4 3 (3) ( ) [ ] 2 4 p f t L p − − = + 1 1 2 2 5 2 2 4 2 4 t t p e L e L p p − −     = +         + + 5 2 cos 2 sin 2 2 t = + e t t 1 1 2 2 2 3 2( 1) 5 ( ) 2 5 ( 1) 4 P P f t L L P P P − −   + − +   = =       − + − +   (4) 1 1 2 2 1 5 2 2 ( 1) 4 2 ( 1) 4 P L L P P − −     − = +         − + − + 3 4cos2 sin 2 2 = −t t 1 1 3 2 4 [ ] [ ] 2 2 2 4 4 p L L p p − − = − + +

练习2[解一阶微分方程] 求微分方程x(t)+2x()=0满足初始条件 x(0)=3的解 解对方程两端进行拉氏变换,并设Lx(t)=X(p), 则Lx(t)+2x(t)]=L0],即 pX(p)-x(0)+2X(p)=0 将x(0)=3代入上式,有 (p+2)X(p)=3 高等应用数学CAⅠ电子教案 上页下页迅回

练习2 [解一阶微分方程] 解 求微分方程 x (t) + 2x(t) = 0 满足初始条件 x(0) = 3 的解． 对方程两端进行拉氏变换，并设 L[x(t)] = X ( p) ， pX( p) − x(0) + 2X( p) = 0 则 L[x (t) + 2x(t)] = L[0] ，即 将 x(0) = 3 代入上式，有 ( p + 2)X( p) = 3

所以象函数的解为 X(p) p+2 用拉氏逆变换将象函数的解还原为微分方程 满足初始条件x(0)=3的解为 x()=L[x(p)=L[ ]=3e p+ 高等应用数学CAⅠ电子教案 上页下页迅回

所以象函数的解为 2 3 ( ) + = p X p 用拉氏逆变换将象函数的解还原为微分方程， 满足初始条件 x(0) = 3 的解为 t e p x t L x p L 1 1 2 ] 3 2 3 ( ) [ ( )] [ − − − = + = =

注:拉氏变换在解微分方程中具有重要作用,应 用拉氏变换可以将常系数微分方程变换为象函数 的代数方程求解,再通过拉氏逆变换,将象函数 的代数方程解还原为微分方程的解.起到化难为 易的作用 高等应用数学CAⅠ电子教案 上页下页迅回

注：拉氏变换在解微分方程中具有重要作用，应 用拉氏变换可以将常系数微分方程变换为象函数 的代数方程求解，再通过拉氏逆变换，将象函数 的代数方程解还原为微分方程的解．起到化难为 易的作用．