温州职业技术学院：《高等应用数学》第五章（5.3）拉普拉斯变换

5.3拉普拉斯变换 一、案例 ■二、概念和公式的引坐 ■三、进一步的练习 click Here

5.3 拉普拉斯变换 一、案例 二、概念和公式的引出 三、进一步的练习

一、案例[自动控制] 在自动控制系统的分析和综合中,线性定 常系统由下面的n阶微分方程描述 dr y(o)+a dr -iy(0++an- dt y()+ an d d x()+b d"x(t)+…+b x(t)+bm,x(t) dt dt 如何求解此微分方程呢? 高等应用数学CAⅠ电子教案 上页下页迅回

一、案例 [自动控制] 在自动控制系统的分析和综合中，线性定 1 0 1 1 1 d d d ( ) ( ) ( ) ( ) d d d n n n n n n a y t a y t a y t a y t t t t − + + + + = − − 1 0 1 1 1 d d d ( ) ( ) ( ) ( ) d d d m m m m m m b x t b x t b x t b x t t t t − + + + + − − 如何求解此微分方程呢？ 常系统由下面的n阶微分方程描述

二、概念和公式的引出 拉氏变设函数(0的定义域为[0.∞),若反常积分 f(t)e"dt对于p在某范围内的值收敛则此积分 0 就确定了p的函数记作 F(p)=f(tepid 0 函数F(p称为f()的拉氏变换(或称为f()的象函数 函数f(称为F(p的原函数,以上公式简称为拉氏变 换式,用记号L(表示,即 F(p)=lf(t) 高等应用数学CAⅠ电子教案 产页下页回

二、 概念和公式的引出 拉氏变换 设函数f (t)的定义域为 [0,） ，若反常积分 0 ( ) dpt f t e t + −  对于p在某一范围内的值收敛,则此积分 0 ( ) ( ) dpt F p f t e t + − =  函数F(p)称为f (t)的拉氏变换(或称为f (t)的象函数， 函数f (t)称为F(p)的原函数，以上公式简称为拉氏变 换式，用记号L[f (t)]表示，即 就确定了p的函数,记作 F( p) = L[ f (t)]

说明 (1)定义中只要求在t≥0上f(4)有定义为了方便 假定0时,f()=0 (2拉氏变换是将给定的函数通过广义积分转换成 个新的函数是一种积分变换,般地在科学技术中遇 到的函数它的拉氏变换总是存在的故以后不再对其 存在性进行讨论 高等应用数学CAⅠ电子教案 产页下页回

(2)拉氏变换是将给定的函数通过广义积分转换成一 个新的函数,是一种积分变换,一般地在科学技术中遇 到的函数,它的拉氏变换总是存在的,故以后不再对其 存在性进行讨论． 假定t<0时, f (t) =0; 说明： (1)定义中,只要求在 t  0 上f (t)有定义,为了方便

]三、进一步的练习 练习1[次函数 求一次函数f()=at(a为常数)的拉氏变换 解当p>0时,有 Llat ( at\e-ptd=、ar+ DJo epr dt a-pt C 高等应用数学CAⅠ电子教案 上页下页迅回

三、进一步的练习 练习1 [一次函数] 求一次函数f (t) =at (a为常数)的拉氏变换. 解 当p>0时，有 0 [ ] ( ) dpt L at at e t + − =  2 0 a pt e p − − + = 2 a p = 0 d( ) a pt t e p + − = −  0 0 d at a pt pt e e t p p + − + − = − + 

练习2[指数函数] 求f(1)=e(t≥0,a为常数)的拉氏变换 解Le] dt (p-a) 这个积分当>a时收敛,此时 Lle (p> 高等应用数学CAⅠ电子教案 上页下页迅回

练习2 [指数函数] 解 这个积分当p>a时收敛，此时 求 f (t) e (t 0,a为常数) at =  的拉氏变换 。 0 [ ] d at at pt L e e e t + − =   p a L e at − = 1 [ ] ( p  a) ( ) 0 1 p a t e p a − − + = − −

练习3[三角函数 求函数f()=cosw的拉氏变换 解当p>0时,有 L[cost]=L. coste dz e p(wsin wt-pcos wt p+w p +w 类似地Lsin(w)]=-2 p2+12(>0 高等应用数学CAⅠ电子教案 上页下页迅回

练习3 [三角函数] 求函数 f (t) =coswt的拉氏变换 。 解 0 [cos ] cos dpt L wt wt e t + − =   当p>0时，有 −  − + = 2 2 0 ( sin cos )| 1 e w wt p wt p w p t 2 2 p w p + = 类似地 2 2 [sin( )] p w w L wt + = ( p  0)

在许多问题中,常会遇到只有在极短时间作 用的量如电路中的脉冲电动势作用后所 生的脉冲电流要确定某瞬间(=0进入 单位电量的脉冲电路上的电流用() 表示上述电路中的电量 无法找到一般的函数能够表示脉冲电流的 强度为此引入了一个新的函数来表示这个 函数叫狄拉克函数 高等应用数学CAⅠ电子教案 产页下页回

在许多问题中,常会遇到只有在极短时间作 用的量,如电路中的脉冲电动势作用后所产 生的脉冲电流,要确定某瞬间(t=0)进入一 无法找到一般的函数能够表示脉冲电流的 强度,为此,引入了一个新的函数来表示.这个 函数叫狄拉克函数. 表示上述电路中的电量. 单位电量的脉冲电路上的电流,用  ( )t

0tT 当τ→0时,o(t)=lmo(t)称为狄拉克函数, 简称为δ函数在工程技术中常称为单位 脉冲函数,即b()J0t≠0 oo t=0 高等应用数学CAⅠ电子教案 上页下页迅回

狄拉克函数 设            =      t t t t 0 0 1 0 0 ( ) 当  →0 时, ( ) lim ( ) 0 t t     → = 称为狄拉克函数, 简称为 － 函数.在工程技术中常称为单位 脉冲函数，即     =  = 0 0 0 ( ) t t  t

如图所示 r(t)▲ 播成 因为()d=limd=1故狄拉克函数有如下性质 →0 狄拉克函数的性质 设g(1)是(-∞2∞)上的一个连续函数,则有 g(t8(tdt=g(0) 高等应用数学CAⅠ电子教案 产页下页回

如图所示. 因为 0 0 1 ( )d lim d 1 t t t     + − → = =   ,故狄拉克函数有如下性质. 设g(t)是 (−,) 上的一个连续函数，则有 狄拉克函数的性质  + − g(t) (t)dt = g(0)