温州职业技术学院：《高等应用数学》第三章 积分与定积分（3.5）反常积分

3.5反常积分 一、案例 概念和公式的引出 、进一步练习 click Here

3.5 反常积分 一、案例 二、概念和公式的引出 三、进一步练习

、案例[单位脉冲函数δ-函数] 在电学与信号分析中,单位脉冲函数-函数满足 以下条件 0t≠0 6(1)= 0 d(tdt=1 高等应用数学CAⅠ电子教案 上页下页迅回

在电学与信号分析中，单位脉冲函数-函数满足 一、案例 [单位脉冲函数  -函数]     =  = 0 0 0 ( ) t t  t ( ) =1  + −  t dt 以下条件：

概念和公式的引出 广义积分设函数在区间+)内连续。取b>a 如果极限扁[/(M存在,则称加为函数 x)在无穷区间∞)内的反常积分,记作f(xk 即 f(x)dx lim f(x ax b→+∞Ja 此时,称反常积分f(收敛;如果上述极限不存在 则称反常积分「/(x发散。 高等应用数学CAⅠ电子教案 产页下页回

二、 概念和公式的引出 广义积分 ( )  →+ = b b a ( ) lim f x dx  + a 即 f x dx 设函数f(x)在区间 a,+) 内连续。取b>a， ( )  →+ b b a lim f x dx ( )  →+ b b a 如果极限 存在，则称 lim f x dx 为函数 ( )  + a 内的反常积分，记作 f x dx f(x)在无穷区间 a,+) ( )  + a 此时，称反常积分 f x dx 收敛；如果上述极限不存在， ( )  + a 则称反常积分 f x dx 发散

类似地,如果极限imn「”f(x)d存在,则函数f(x a→》-0·a 在区间(-∞,b上的反常积分为 广址=m(u +O b f(x)dr=lim a /(x)dx+ lim of(x)dx 上述三种反常积分统称为无穷区间上的反常积分。 高等应用数学CAⅠ电子教案 产页下页回

( ) − b f x dx lim d ( ) b a a f x x →− =  f x x ( )d + − ( ) 0 lim d a a f x x →− =  ( ) 0 lim d b b f x x →+ +  上述三种反常积分统称为无穷区间上的反常积分。 lim d ( ) f (x) b a a f x x →− 类似地，如果极限  存在，则函数 在区间 (− ,b 上的反常积分为

三、进一步的练习 练习1[函数] 函数对所有x>0由下式定义 T(x)= te dt 0 求r()和I(2) 高等应用数学CAⅠ电子教案 上页下页迅回

练习1 [ 函数 Γ ] 1 0 ( ) d x t x t e t  − −  =  三、进一步的练习 Γ 函数对所有 x  0 由下式定义 求 (1) 和 (2)

解r()=edt -(0-1)=1 2)=2edr=[-d (te d(-t) +0 高等应用数学CAⅠ电子教案 上页下页迅回

解  = (1) 0 d t e t + −  0 ( )t e  − = − = − − (0 1) =1 2 1 0 (2) dt t e t + − −  =  0 d t t e + − = −  0 0 ( ) d( ) t t te e t + + − − = − − −  0 ( )t e + − = − =1

练习2[能] 在电力需求的电涌时期,消耗电能的速度可以 近似地表示为r=te(单位:h),求当t→∞ 时总电能E是多少? 解t→>∞时总电能E为 E rat te dt= tde e dt 高等应用数学CAⅠ电子教案 上页下页迅回

练习2[电能] 在电力需求的电涌时期，消耗电能的速度 可以 时总电能E是多少？ t r te− 近似地表示为 = （单位：h），求当 t → 解 t → 时总电能E为 0 0 0 d d d t t E r t te t t e + + + − − = = = −    ( 0 0 ) d t t te e t + + − − = − −  ( 0 ) t e + − = − =1