温州职业技术学院：《高等应用数学》第二章 函数的导数与微分（2.3）导数的应用

第三节导数的应用 ■2.3.1函数的单调性 ■2.3.2函数的极值与最值 click Here

第三节 导数的应用 2.3.1 函数的单调性 2.3.2 函数的极值与最值

2.3.1函数的单调性 一、案例 二、概念和公式的引出 进一步练习 click Here

2.3.1 函数的单调性 一、案例 二、概念和公式的引出 三、 进一步练习

、案例 羹案例1微波炉中食品的温度] 将—碗冷饭放进微波炉中,其温度T随着时间 增加而升高.我们称函数7-f()(t≥0)是单调增加的 高等应用数学CAⅠ电子教案 产页下页回

一、案例 案例1[微波炉中食品的温度] 将一碗冷饭放进微波炉中，其温度T 随着时间t的 增加而升高．我们称函数T=f (t) (t  0) 是单调增加的．

羹案例2路程与速度的关系] 若做直线运动的物体的速度v(02d,则物体 运动的时间越长,路程越大,郎s是单调增加的 由此可见,函数f(x)单调性与其导数 f(x)的正负符号之间存在着必然的联系 高等应用数学CAⅠ电子教案 产页下页回

案例2[路程与速度的关系] 若做直线运动的物体的速度 d ( ) 0 d s v t t =  ，则物体 f x ( ) 的正负符号之间存在着必然的联系。 由此可见，函数 f x( ) 单调性与其导数 运动的时间越长，路程s(t)越大，即s(t)是单调增加的

概念和公式的引出 函数单调性的定义 对于函数y=f(x),若对任意的x1、x2∈[ab且 x2,有x)f(x2), 则称函数y=f(x)在区间,b上单调减少 如图所示 高等应用数学CAⅠ电子教案 上页下页迅回

二、 概念和公式的引出 函数单调性的定义： 对于函数 y = f (x) ，若对任意的x1、 [ , ] x2  a b 且 1 2 x  x ，有 ( ) ( ) 1 2 f x  f x ，则称函数 y = f (x) 在 区间[a ,b]上单调增加；否则，若有 ( ) ( ) 1 2 f x  f x ， 则称函数 y = f (x) 在区间[a ,b]上单调减少； 如图所示：

从上图可以看出,单调增加(减少)函数的图形是 条沿轴方向上升(下降)的曲线,此时如果函数在 每一点的导数都存在,我们发现曲线在该点处的切线 与x轴正向的夹角为锐(钝)角,其斜率为正 函数单调性的判定方法设函数y=f(在闭区间 ab上连续,在开区间(ab)内可导 (1)若f(x)>0,则函数y=f(x在闭区间ab上单调增加 (2)若f(x)<0,则函数y=f(x在闭区间b上单调减少 高等应用数学CAⅠ电子教案 产页下页回

设函数 y = f (x) 在闭区间 [a,b] 上连续，在开区间 (a,b) 内可导， (1) 若 f (x)  0 ，则函数 y = f (x) 在闭区间 [a,b] 上单调增加； (2) 若 f (x)  0 ，则函数 y = f (x) 在闭区间 [a,b] 上单调减少. 函数单调性的判定方法 从上图可以看出，单调增加（减少）函数的图形是一 条沿x轴方向上升（下降）的曲线，此时如果函数在 每一点的导数都存在，我们发现曲线在该点处的切线 与x轴正向的夹角为锐（钝）角，其斜率为正 （负）．

]三、进一步练习 羹练习1[石油蕴藏]假设P为在年时地球的石油总 蕴藏量(包括未被发现的),假设没有新的石油产生 并且P以桶为单位计量,的单位是什么?它有何意义? dt 它的符号为正还是负?为什么? 解假设没有新的石油产生,地球的石油是不可再生资源 随着对石油的消耗,其总量会越来越少,因此地球的 石油总蕴藏量P(是一单调下降函数 高等应用数学CAⅠ电子教案 产页下页回

三、进一步练习 练习1 [石油蕴藏] 假设P为在t年时地球的石油总 它的符号为正还是负？为什么？ 解 假设没有新的石油产生，地球的石油是不可再生资源， 随着对石油的消耗，其总量会越来越少，因此地球的 石油总蕴藏量P(t)是一单调下降函数. 蕴藏量（包括未被发现的），假设没有新的石油产生， t P d d 并且P以桶为单位计量， 的单位是什么？它有何意义？

d≤0,因为P的单位是桶,t的单位是年,所以 d的单位是桶/ dt 羹练习2[人口增长]中国的人口总数P(以10亿 为单位)在1993年—1995年间可近似地用方程 P=1.15×(1.014)来计算,其中堤以1993年为起点 的年数,根据这一方程,说明中国人口总数在 这段时间是增长还是减少? 解中国人口总数在1993-1995年间的增长率(>0)为 dP 1.15×(1.014)×h1.014>0 dt 因此中国人口总数在1993-1995年期间是增长的 高等应用数学CAⅠ电子教案 产页下页回

d 0 d P t  ，因为P的单位是桶， t 的单位是年，所以 t P d d 的单位是桶/年. 练习2 [人口增长] 中国的人口总数P （以10亿 为单位）在1993年—1995年间可近似地用方程 t P = 1.15 (1.014) 来计算，其中t是以1993年为起点 的年数，根据这一方程，说明中国人口总数在 这段时间是增长还是减少？ 解 中国人口总数在1993—1995年间的增长率(t>0)为 1.15 (1.014) ln 1.014 0 d d =    t t P 因此中国人口总数在1993—1995年期间是增长的

2.3.2函数的极值与最值 一、案例 二、概念和公式的引出 进一步练习 click Here

2.3.2 函数的极值与最值 一、案例 二、概念和公式的引出 三、 进一步练习

、案例 案例1[易拉罐的设计] 如果把易拉罐视为圆柱体,你是否注意到可口可乐 雪碧、健力宝等大饮料公司岀售的易拉罐的半径与高 之比是多少?请你不妨去测量一下,为什么其半径与 高之比约为1:2? 高等应用数学CAⅠ电子教案 上页下页迅回

一、案例 如果把易拉罐视为圆柱体，你是否注意到可口可乐、 雪碧、健力宝等大饮料公司出售的易拉罐的半径与高 之比是多少？请你不妨去测量一下，为什么其半径与 高之比约为1：2？ 案例1 [易拉罐的设计]