河北理工学院：《高等数学》课程教学资源（PPT课件讲稿）第十二章 微分方程（12.4）可降阶的高阶微分方程

高数课程妥媒血课件 理工大理>> 人 f(x)型的微分方程 (k) (n- ●0● )型 (n) (n-」 y,y,y )型 ●恰当导数方程 小结、思考题 Http://www.heut.edu.cn

第四节 可降阶的高阶微分方程 y (n) = f (x, y (k ) y (n−1) ) 型 y (n) = f (x)型的微分方程 y (n) = f ( y, y , y y (n−1) ) 型 恰当导数方程 小结、 思考题

高数课程妥媒血课件 镭理工大理>> f(x)型的微分方程 这种方程通过n次积分可得通解,微分方程右端 仅含有自变量x,容易看出,只要把y作为新的 未知函数那么方程就是新未知数的一阶微分方程 两边积分得到一个n-1阶的微分方程 pn)=∫/f(xlc 旦通2)-11(x)++ Http://www.heut.edu.cn

这种方程通过n次积分可得通解，微分方程右端 仅含有自变量x，容易看出，只要把 (n−1) y 作为新的 未知函数那么方程就是新未知数的一阶微分方程， 两边积分得到一个n-1阶的微分方程  = + − 1 ( 1) y f (x)dx c n   = + 1 + 2 (n-2) 同理 y [ f (x)dx c ]dx c 一、y (n) = f (x)型的微分方程

高数课程妥媒血课件 镭理工大理>> 依次继续进行,积分n次,便得含n个任意常数 的通解 例1、求微分方程ym=e2x-cosx的通解 解对所给方程接连积分三次得 y=e -sinto 2x y=e tcosx+ c2 通解 2x y=re tsinxt crx tc2xtc3 Http://www.heut.edu.cn

例1、求微分方程 y e x x cos 2  = − 的通解 对所给方程接连积分三次 得 1 2 sin 2 1 y e x c x  = − + 1 2 2 cos 4 1 y e x c x c x  = + + + 2 3 2 1 2 2 1 sin 8 1 y e x c x c x c x 通 解 = + + + + 依次继续进行，积分n次，便得含n个任意常数 的通解 解

高数课程妥媒血课件 镭理工大理>> 例2:求解微分方程,x2y4+1=0 解 Ac Inxtclxtc y'=xInx-x+x2+c, x+c J Inx+Cr tc,x +cx+ca 3 2 Http://www.heut.edu.cn

例2：求解微分方程 1 0 2 (4) x y + = 2 (4) 1 x y = − 1 1 c x y = +  1 2 y = ln x + cx + c 2 3 1 2 2 ln x c x c c y x x x +  +    = − + 3 4 2 2 3 1 2 ln 2 x c x c x c x c x y = + + + + 3 3 2 2 1 1 ) 4 3 2 ( 6 c c c c c c − =   =  = 解

高数课程妥媒血课件 镭理工大理>> (k) (n-1) 特忘)不显含未知函数y及y,…,y) 解法:令y1)=P(x) 则y(t)=P,y1"=P 代入原方程,得 P(x)的-b阶方程 P=f(x,P(x),…,P((x).求得P(x), 将y)=P(x)连续积分k次,可得通解 Http://www.heut.edu.cn

代入原方程, 得 , , . ( −1)  k 不显含未知函数 y及 y  y ( ) ( ) y P x k 令 = , . (k 1) (n) (n k ) y P y P + − 则 =  = ( , ( ), , ( )). ( ) ( 1) P f x P x P x n−k n−k− =  P(x)的(n-k)阶方程 求得 P(x), ( ) , 将 y (k ) = P x 连续积分k次 可得通解. ( ) ( ) ( ) ( −1) = n k n 二、y f y y 解法： 特点

高数课程妥媒血课件 理工大理>> 常用y=f(x,y')方程中不显含y 设:y’=p则y d x dx 则方程就成为p'=f(xp 这是一个关于变量x,m的一阶微分方程 例3:求微分方程xy”+y=ex 解:方程不显含y令y=py d p P 代入方程x dp +p= Http://www.heut.edu.cn

y = f (x, y) 方程中不显含y p dx dp = =    =  = dx dy 设 ： y p 则 y 则方程就成为 p = f(x,p) 这是一个关于变量x, p的一阶微分方程 例3： x 求微分方程 xy + y = e  =  = = p dx dp 解 ：方程不显含y 令y p y x + p = e dx dp 代入方程 x 常用

高数课程妥媒血课件 镭理工大理>> +-p=-e为一阶线性方程,其邂解为 p(x=ex e e'x dx+cl x.X 十 既y 十× y=CInx+ -dx tc Http://www.heut.edu.er

e x 为一阶线性方程，其通解 为 x p dx x dp 1 1 + = ] 1 ( ) [ 1 1 1  +   = − e e dx c x p x e d x x x d x x x e x c e x c x x x x =  + = +  1 1 ] 1 [ 1 x e x  = + x c y 既 1 1 2 ln dx c x e y c x x = + + 

高数课程妥媒血课件 镭理工大理>> 例4:(x2+1)y=2xy满足初始条件y 3的特解 解:所给方程是y"=f(x,y)型的,设=p 代入方程并分离变量后有 dp 2x 1+x 两边积分得m=ln(1+x2)+lnc P=y=c1(1+x2)代入y=3得c1=3 y=3(1+x2) 2 =3(1+x2)d Http://www.heut.edu.cn

例4： ( 1) 2 y 1 0 2 +  =  = x= x y xy 满足初始条件 y x=0 = 3 的特解 解：所给方程是 y = f(x,y)型的，设y = p dx x x p dp 2 1 2 + 代入方程并分离变量后有 = 1 2 两边积分 得 lnp = ln(1 + x )+ lnc (1 ) y 3 c1 3 0 2 =  = 1 +  = = p y c x 代入 x= 得 dy x dx y x 3(1 ) 3(1 ) 2 2 = +  = +

高数课程妥媒血课件 镭理工大理>> y=3x+x+c2 代入y-=1得c2=1 所求特解为 J=x+3x+1 Http://www.heut.edu.cn

2 3 y = 3x + x + c y 1 c2 1 0 = = 代入 x= 得 3 1 3 y = x + x + 所求特解为

高数课程妥媒血课件 镭理工大理>> 例5求方程xy5-y(=0的通解 解设y4=P(x),y=P(x) 代入原方程xP-P=0,(P≠0) 解线性方程得P=C1x即y4)=C1x 两端积分得y"=C1x2+C2, x+x+x+cx+ 120 5 原方程通解为y=l1x3+d2x3+d3x2+d4x+dl3 Http://www.heut.edu.cn

解 ( ), (4) 设 y = P x 代入原方程 xP − P = 0, 解线性方程, 得 P = C1 x 两端积分,得 原方程通解为 ( ) (5) y = P x （P  0） , 1 (4) 即 y = C x , 2 1 2 2 y = C1 x + C   , , 120 6 2 4 5 1 5 2 3 3 2 x C x C C x C x C y = + + + + 4 5 2 3 3 2 5 y = d1 x + d x + d x + d x + d 0 . 例 5 求方程 xy(5) − y (4) = 的通解