河北理工学院：《高等数学》课程教学资源（PPT课件讲稿）第十二章 微分方程（12.3）全微分方程

高数课程妥媒血课件 镭理工大理>> 第 ③全微分方程及其解法 积分因子法 Http://www.heut.edu.cn

第三节 全微分方程 全微分方程及其解法 积分因子法

高数课程妥媒血课件 镭理工大理>> 全微分方程及其解法 若有全微分形式 d(x,y)=P(x,y)d+Q(x,y)全微分方程 A P(x, y)dx +o(x, y)dy=0 或恰当方程 例如xdx+yoy=0,a(x,y)=(x+y2), d(x,y)=xdx+y小少,所以是全微分方程 全微分方程分 OP 00 Http://www.heut.edu.cn

则 P(x, y)dx + Q(x, y)dy = 0 du(x, y) = P(x, y)dx + Q(x, y)dy 若有全微分形式 例如 xdx + ydy = 0, ( ), 2 1 ( , ) 2 2 u x y = x + y 全微分方程 或恰当方程 du(x, y) = xdx + ydy, 所以是全微分方程. . x Q y P   =   全微分方程 定义 一、全微分方程及其解法

高数课程妥媒血课件 理工大理>> 解法 P(x,y)+Q(x,y)小y=0全微分方程 aP 80 应用曲线积分与路径无关 ay ax 通解为以(xy)=」P(x,y)dx+Q(xn,y)d Jx,y)十」P(x,y;)x,(x,y)=C; 用直接凑全微分的方法 Http://www.heut.edu.cn

P(x, y)dx + Q(x, y)dy = 0 应用曲线积分与路径无关. x Q y P   =    通解为   = + y y x x u x y P x y dx Q x y dy 0 0 ( , ) ( , ) ( , ) 0 ( , ) ( , ) , 0 0 Q x y dy P x y0 dx x x y y  = + u(x, y) = C ; 用直接凑全微分的方法. 全微分方程 解 法

高数课程妥媒血课件 镭理工大理>> 例1求方程(x3-3x2x+(y3-3x2y)d=0 的通解 解 aP q=-0y Q ,是全微分方程, u(x,y)=J(x3-3xy')dx+l y x3, 2 r y t x43 原方程的通解为 22 x1- y =C. Http://www.heut.edu.cn

. ( 3 ) ( 3 ) 0 3 2 3 2 的通解 求方程 x − xy dx + y − x y dy = 解 6 , x Q xy y P   = − =   是全微分方程,   = − + x y u x y x xy dx y dy 0 3 0 3 2 ( , ) ( 3 ) . 2 4 3 4 4 2 2 4 C y x y x 原方程的通解为 − + = , 2 4 3 4 4 2 2 4 y x y x = − + 例1

高数课程妥媒血课件 镭理工大理>> 例2求方程≠小2-1 小y=0的通解 解∂P6x_o,是全微分方程, ay ax 2 将左端重新组合2d+( 3x 4 dy) 2 =d(--)+d(3)=d(-+3), 原方程的通解为-+ =C 3 Http://www.heut.edu.cn

0 . 2 3 4 2 2 求方程 3 = 的通解 − + dy y y x dx y x 解 , 6 4 x Q y x y P   = − =   是全微分方程, 将左端重新组合 ) 2 3 ( 1 4 2 2 3 dy y x dx y x dy y + − ) ( ) 1 ( 3 2 y x d y = d − + . 1 3 2 C y x y 原方程的通解为− + = ), 1 ( 3 2 y x y = d − + 例2

高数课程妥媒血课件 镭理工大理>> 、积分因子法 以(x,y)≠0连续可微函数,使方程 μ(x,y)P(x,y)ak+μ(x,y)Q(x,y)=0成为全 微分方程则称(x,y)为方程的积分因子 问题:如何求方程的积分因子? Http://www.heut.edu.cn

问题: 如何求方程的积分因子? ( x, y)  0连续可微函数，使方程 (x, y)P(x, y)dx + (x, y)Q(x, y)dy = 0成为全 微分方程.则称( x, y)为方程的积分因子. 定 义 二、积分因子法

高数课程妥媒血课件 理工大理擘原>> 1公式法.,O(四P)_0(四 ax OP +p 0H=,0Qx00x = 两边同除, ay Oy a Ink_p al aIn u aP dQ ax Oa求解不容易 特殊地: n.当只与有关时,=0,=, y ax dx Http://www.heut.edu.cn

1.公式法: , ( ) ( ) x Q y P   =      x Q x Q y P y P   +   =   +       两边同除， x Q y P y P x Q   −   =   −   ln  ln  求解不容易 特殊地: a.当只与x有关时; = 0,   y  , dx d x   =  

高数课程妥媒血课件 镭理工大理>> dInu lap aQ o ay ax f() (x)=e ∫/(x) b当只与有关时; o=mlu ar ay dy dInu 1,ag aP g(y) 小 P ar ay 1(y)=de(y) Http://www.heut.edu.cn

b.当只与y有关时; ( ) ln 1 x Q y P dx Q d   −    =  = f (x) ( ) . ( )   = f x dx  x e = 0,   x  , dy d y   =   ( ) ln 1 y P x Q dy P d   −    =  = g( y) ( ) . ( )   = g y dy  y e

高数课程妥媒血课件 镭理工大理>> 2.观察法:凭观察凑微分得到(x,y) 常见的全微分表达式 x-十J xd小-yx xdx + ydy 2 day- yar xdy+ ydx d arctan d in xy) x ty rdx yd 2 d=In(x ty xty 2 xdy- ydx xt y n 2 x-y Http://www.heut.edu.cn

2.观察法: 凭观察凑微分得到 (x, y) 常见的全微分表达式         + + = 2 2 2 x y xdx ydy d       = − x y d x xdy ydx 2       = + − x y d x y xdy ydx arctan 2 2 d( xy) xy xdy ydx = ln +       = + + + ln( ) 2 1 2 2 2 2 d x y x y xdx ydy       − + = − − x y x y d x y xdy ydx ln 2 1 2 2

高数课程妥媒血课件 镭理工大理>> 可选用的积分因子有 x y 29 2292, 2 等 x+y xx y x t y 例3求微分方程 (3x+y2)+(x2+xg)dy=0的通解 1aP 00 dx 解 )=-,∴山(x)=ex=x o ay ar x 则原方程为 (3x y+xy)dx+(x'+x y)dy=0, Http://www.heut.edu.cn

可选用的积分因子有 , , . 1 , 1 , 1 , 1 2 2 2 2 2 2 2 等 x y y x x + y x x y x + y (3 ) ( ) 0 . 2 2 的通解 求微分方程 xy + y dx + x + xy dy = 解 , 1 ( ) 1 x x Q y P Q =   −      = dx x x e 1 ( ) = x. 例3 则原方程为 (3 ) ( ) 0, 2 2 3 2 x y + xy dx + x + x y dy =