温州职业技术学院：《高等应用数学》第四章 微分方程（4.3）一阶线性微分方程

4.3 阶线性微分方程 一、案例 ■二、概念和公式的引坐 三、进一步的练习 、实训 click Here

4.3 一阶线性微分方程 一、案例 二、概念和公式的引出 三、进一步的练习 四、实训

案例[溶液的混合] 容器内盛有50L的盐水溶液,其中含有10g 的盐.现将每升含盐2g的溶液以每分钟5L的速度注 入容器,并不断进行搅拌,使混合液迅速达到均匀, 同时混合液以3L/min的速度流出溶液,问任一时刻 容器中含盐量是多少? 高等应用数学CAⅠ电子教案 上下回

一、案例 [溶液的混合] 一容器内盛有50L的盐水溶液，其中含有10g 的盐．现将每升含盐2g的溶液以每分钟5L的速度注 入容器，并不断进行搅拌，使混合液迅速达到均匀， 同时混合液以3L/min的速度流出溶液，问任一时刻 容器中含盐量是多少？

解设时刻容器中含盐量为xg,容器中含盐量的变 化率为 dx dt 盐流入容器的速度-盐流出容器的速度(1) 盐流入容器的速度-2(g/)×5(L/min)=10(gmin 盐流出容器的速度 50从-(9)×3(L/min) 3x 50+2t (g/min) 高等应用数学CAⅠ电子教案 上页下页迅回

解 设t时刻容器中含盐量为x g，容器中含盐量的变 化率为 盐流入容器的速度－盐流出容器的速度 （1） 盐流入容器的速度=2（g/L）×5（L/min） =10(g/min) = (g/min) 盐流出容器的速度= （g/L）×3 （L/min）

由式(1)得 =10 dt 50+2t 即 dx 3 x=10 dt 50-+2t 此一阶线性微分方程的特点是:未知函数及其 导数都是一次的 由题意知初始条件为xa0=10 高等应用数学CAⅠ电子教案 上页下页迅回

即 此一阶线性微分方程的特点是：未知函数及其 导数都是一次的． 由题意知初始条件为 ． 由式（1）得

概念及公式的引出 □阶线性徽分方程 形如y+P(x)y=O(x)(1) 线性线性 的微分方程称为一阶线性微分方程.当Q(x)恒等于零时, 方程(1)称为齐次微分方程;当Q(x)不恒为零时,方程 (1)并齐次微分方程 高等应用数学CAⅠ电子教案 上页下页迅回

(1) 线性 线性 的微分方程称为一阶线性微分方程．当Q(x)恒等于零时, 方程(1)称为齐次微分方程；当Q(x)不恒为零时，方程 (1))非齐次微分方程． 二、概念及公式的引出 一阶线性微分方程 形如

)一阶线性齐次微分方程的解法 在方程(1)中,若Qx)≡则 dy +P(x)y 0 (2) dx 是可分离变量微分方程,分离变量,得 dy -P(r)dx 高等应用数学CAⅠ电子教案 上页下页

（一）一阶线性齐次微分方程的解法 在方程(1)中，若 ，则 （2） 是可分离变量微分方程，分离变量，得

研究两边积分,得 ny=-「P(x)dx+nC 即 P(x)dx 这是齐次微分方程(2)的通解 高等应用数学CAⅠ电子教案 上页下页迅回

即 这是齐次微分方程（2）的通解． 研究 两边积分，得

二)一阶线性非齐次微分方程的解法 一阶线性非齐次微分方程(1)的解可用“常数变易 法”求得.这种方法是将(1)的通解中的任意常数C 换为x的函数Cx),即令 P(x)dx y=C(x)e 高等应用数学CAⅠ电子教案 上下回

（二）一阶线性非齐次微分方程的解法 一阶线性非齐次微分方程 (1)的解可用“常数变易 法”求得．这种方法是将(1)的通解中的任意常数C， 换为x的函数C(x)，即令

两边求导,得 d ly P(x) dx C(x)P(x)e 「P(x)dx 将y、的表达式代入方程(1),得 P(x) dr C(x)=o(r)e 高等应用数学CAⅠ电子教案 土页压页回

两边求导，得 将y、 的表达式代入方程(1)，得

两边积分,得 C(x)=(x)el dx+C 将此式代入y=C(x)e便得非齐次线性微分方 方程(1)的通解为 y=e! go(x)el dx+C) ( 高等应用数学CAⅠ电子教案 上页下页迅回

两边积分，得 将此式代入 ，便得非齐次线性微分方 (*) 方程 (1)的通解为