温州职业技术学院：《高等应用数学》第三章 积分与定积分（3.2）微积分基本公式

3.2微积分基本公式 ■3.2.1原函数和不定积分的概念 ■3.2.2基本积分表 ■3.2.3微积分基本公式 click Here

3.2 微积分基本公式 3.2.1 原函数和不定积分的概念 3.2.2 基本积分表 3.2.3 微积分基本公式

3.2.1原函数和不定积分的概念 一、案例 ■二、概念和公式的引出 click Here

3.2.1 原函数和不定积分的概念 一、案例 二、概念和公式的引出

、案例[路程函数] 已知物体的运动方程为(1)=t2,则其速度为 v()=s()=(t2)=2t 这里速度2是路程的导数,反过来,路程又称为速 度2的什么函数呢?若已知物体运动的速度v(),又如 何求物体的运动方程(呢? 高等应用数学CAⅠ电子教案 产页下页回

一、案例[路程函数] 已知物体的运动方程为 2 s(t) = t ，则其速度为 v(t) s (t) (t ) 2t 2 =  =  = 这里速度2t是路程t 2的导数，反过来，路程t 2又称为速 度2t的什么函数呢？若已知物体运动的速度v(t)，又如 何求物体的运动方程s(t)呢？

、概念和公式的引出 原函数 如果在开区间,可导函数F(x)的导函数为(x 即当x∈l时, F(x)=f(x)ex dF(x)=f(xld 则称函数F(x)是函数(x)在区间的一个原函数 高等应用数学CAⅠ电子教案 上页下页迅回

二、概念和公式的引出 如果在开区间I内，可导函数 F(x)的导函数为f(x), 即当 x I 时, F(x) = f (x) 或 dF(x) = f (x)dx 则称函数 F(x)是函数f(x)在区间I内的一个原函数． 原函数

不定积分 若F(x)是函数f(x)在开区间内的一个原函数 则f(x)的所有原函数的表达式F(x)+C(C为任意常数) 称为()在该区间内的不定积分,记作∫(x知x 即 ∫/(x)x=F(+C C称为积分常数 其它符号的名称与定积分中的名称一致 高等应用数学CAⅠ电子教案 上页下页迅回

若 F(x) 是函数 f (x) 在开区间 I 内的一个原函数， 即 ( )  f x dx = F(x)+C 其它符号的名称与定积分中的名称一致． 不定积分 在该区间 I 内的不定积分，记作 ( )  称为 f (x) f x dx 则 f (x) 的所有原函数的表达式 F(x)+C （ C 为任意常数） C称为积分常数

函数的不定积分与导数(或微分)之间的运算关系: /(k=/()或可/1=()d ∫f(x知x=f(对)+C或d(x)=f(x)+C 高等应用数学CAⅠ电子教案 上页下页迅回

 f (x) x = f (x)   d d[ d ] d f(x) x f x x = ( ) 或  ( ) ( )  f  x dx = f x + C 或 ( ) ( )  df x = f x + C 函数的不定积分与导数（或微分）之间的运算关系：

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3.2.2 基本积分表 一、案例 二、概念和公式的引出

、案例[幂函数的不定积分] 因为(+1)=x“一+1.是x的个原函数 于是 +O ≠-1 +1 类似地由基本初等函数的求导公式,可以写出与之对应的不定积分公式 高等应用数学CAⅠ电子教案 上页下页迅回

一、案例[幂函数的不定积分] 于是 C x x x + + =  + 1 d 1      −1 类似地, 由基本初等函数的求导公式，可以写出与之对应的不定积分公式．    x x =        + + 1 1 因为 1 1 + +   x 是  x 的一个原函数

、概念和公式的引出 1基本积分表 4+1 )x=kx+C(k为常数)(2)jxax A++C dx=nll+C d n a (5)e'dx =e+C (6) sin xdx=-coS x+C (7) cos xdx=sin x+C (8)sec xdx=tan x+C 高等应用数学CAⅠ电子教案 上页下页迅回

1.基本积分表 k x = kx + C  (1) d ( k 为常数） (2) C x x x + + =  + 1 d 1      −1 (3)  x = x + C x d ln 1 (4)  = + C a a a x x x ln d (5)  e x = e + C x x d (6) x x = − x + C  sin d cos (7) x x = x + C  cos d sin (8)  sec xdx = tan x + C 2 二、概念和公式的引出

(9)csc xdx=-cot x+C (10)secx. tan xdx=sec x+C 1)csc x cot xdx=-CSc x+C(12) dx= arcsin x+C 1 dx= arctan x+C 1+ 高等应用数学CAⅠ电子教案 产页下页回

(9)  csc x dx = −cot x + C 2 (10)  sec x  tan x dx = sec x + C (11)  csc x  cot x dx = −csc x + C (12)  = + − x x C x d arcsin 1 1 2 (13)  = + + x x C x d arctan 1 1 2