温州职业技术学院：《高等应用数学》第一章 函数与极限（1.2）函数的极限

一背景 如何用准确地刻画无限接近这一过程呢?十 九世纪以前,人们用朴素的极限思想计算了圆的 面积、体积等.十九世纪之后,柯西以物体运动 为背景,结合几何直观,引入了极限概念.后来, 维尔斯特拉斯给出了形式化的数学语言描述.极 限概念的创立,是微积分严格化的关键.它奠定 了微积分学的基础

如何用准确地刻画无限接近这一过程呢? 十 九世纪以前，人们用朴素的极限思想计算了圆的 面积、体积等．十九世纪之后，柯西以物体运动 为背景，结合几何直观，引入了极限概念．后来， 维尔斯特拉斯给出了形式化的数学语言描述．极 限概念的创立，是微积分严格化的关键．它奠定 了微积分学的基础． 背景

1.2函数的极限 ■1.2.1函数的极限的概念 (一)x→∞函数的极限 (二)x→x函数的极限 1.2.2单侧极限 2.3数列的极限 1.2.4无穷大与无穷小 click Here 1.2.5函数极限的运算

1.2 函数的极限 1.2.1 函数的极限的概念 （一） 函数的极限 （二） 函数的极限 1.2.2 单侧极限 1.2.3 数列的极限 1.2.4 无穷大与无穷小 1.2.5 函数极限的运算 x   0 x  x

1.2.1函数极限的概念(一) 、案例 二、概念和公式的引出 进一步练习 click eve

一 、案例 二、概念和公式的引出 三、进一步练习 1.2.1 函数极限的概念（一）

、案例 案例1[水温的变化趋势] 将一盆80C的热水放在一间室温为20C的 房间里,水的温度将逐渐降低,随着时间的 推移,水温会越来越接近室温20C。 高等应用数学CA|电子教案 上页下页返回

一、案例 将一盆80 0C的热水放在一间室温为20 0C的 房间里，水的温度将逐渐降低，随着时间的 推移，水温会越来越接近室温20 0C。 案例1 [水温的变化趋势 ]

案例2[自然保护区中动物数量的变化规律] 在某一自然保护区中生长的一群野生动物,其 群体数量会逐渐增长,但随着时间的推移,由 于自然环境保护区内各种资源的限制,这一动 物群体不可能无限地增大,它应达到某一饱和 状态,如右图所示.饱和 状态就是时间t→>∞ 时野生动物群的数量 高等应用数学CA|电子教案 上页下页返回

在某一自然保护区中生长的一群野生动物，其 群体数量会逐渐增长，但随着时间的推移，由 于自然环境保护区内各种资源的限制，这一动 物群体不可能无限地增大，它应达到某一饱和 案例2 [自然保护区中动物数量的变化规律] 状态，如右图所示.饱和 时野生动物群的数量． 状态就是时间 t  

概念和公式的引出 当x→时函数的极限设函数/(x)当自变量x 的绝对值无限增大时,相应的函数值f(x)无限 接近于A,则称A为函数f(x)当x→>时的 极限,记作1mnf(x)=A (或x→∞,f(x)→>A) 高等应用数学CA|电子教案 上页下页返回

二、 概念和公式的引出 当 x   时函数的极限 设函数 f (x) 当自变量 x （或 x   , f (x)  A） 的绝对值无限增大时，相应的函数 值 f (x)无限 接近于 A ，则称 A 为函数 f (x) 当 x   时的 f x A x   极限，记作 lim ( ) ．

三、进-步练习 练习1 下面考察函数y=-在自变量x→∞时的变化情况 上取值越来越大 1101001000100001000001000000 f(x) 10.10.010.0010.00010.000010.000001 X -1-10-100-100010000-10000-100000 -1-0.1-0.01-0.001 0.0001 0.0000-0.000001 高等应用数学CA|电子教案 上页下页返回

三、进一步练习 练习1 (让取值越来越大) ． 1 0.1 0.01 0.001 0.0001 0.00001 0.000001 x 1 10 100 1000 10000 100000 1000000 x f x 1 ( )  … … -1 -0.1 -0.01 -0.001 -0.0001 -0.00001 … x -1 -10 -100 -1000 -10000 -100000 … x f x 1 ( )  -1000000 -0.000001 下面考察函数 x y 1  在自变量 x  时的变化情况

可以观察出,当自变量 x→0 时,f(2)1 与0无限接近 高等应用数学CA|电子教案 上页下页返回

x   可以观察出，当自变量 x f x 1 ( )  与0无限接近． 时

6练习2[并联电路电阻] 个59的电阻器与一个电阻为R的可变电阻 并联,电路的总电阻R125+R 5R 当可变电阻 R→+∞这条支路断路时电路的总电阻为时电路的 总电阻的极限,即lim 5R R→)+∞5+R 通过列表法或图形法可知 5R m R→+∞5+R 高等应用数学CA|电子教案 上页下页返回

练习2 [并联电路电阻] 一个5 的电阻器与一个电阻为R的可变电阻 R R RT   5 并联，电路的总电阻 5 ，当可变电阻 5 lim R 5 R   R 总电阻的极限，即 . 通过列表法或图形法可知: R   这条支路断路时电路的总电阻为时电路的 5 lim R 5 R   R  5

1.2.1函数极限的概念(二) 、案例 二、概念和公式的引出 进一步练习 click Here

一 、案例 二、概念和公式的引出 三、进一步练习 1.2.1 函数极限的概念（二）