河北理工学院：《高等数学》课程教学资源（PPT课件讲稿）第十一章 无穷级数（11.7）正弦级数和余弦级数

高数课程妥媒血课件 镭理工大理>> 第七节正弦级数和余弦级数 奇函数和偶函数的博立叶级数 ◎函数展开成正弦級数或氽弦级数 小结 Http://www.heut.edu.cn

第七节 正弦级数和余弦级数 奇函数和偶函数的傅立叶级数 小结 函数展开成正弦级数或余弦级数

高数课程妥媒血课件 镭理工大理>> 奇函数和偶函数的傅立叶级数 般说来,个函数的傅里叶级数既含有正弦 项,又含有余弦项但是,也有一些函数的傅里叶级 数只含有正弦项或者只含有常数项和余弦项 (1)当周期为2的奇函数f(x)展开成傅里叶级数 时,它的傅里叶系数为 =0 (n=0,1,2,) bn==f(x)sin ndx (n=1, 2,") Http://www.heut.edu.cn

(1)当周期为2的奇函数 f ( x)展开成傅里叶级数 时,它的傅里叶系数为 ( )sin ( 1,2, ) 2 0 ( 0,1,2, ) 0   =  = = =   b f x nxdx n a n n n 一般说来,一个函数的傅里叶级数既含有正弦 项,又含有余弦项.但是,也有一些函数的傅里叶级 数只含有正弦项或者只含有常数项和余弦项. 定 理 一、奇函数和偶函数的傅立叶级数

高数课程妥媒血课件 镭理工大理>> (2)当周期为2的偶函数f(x)展开成傅里叶级 数时,它的傅里叶系数为 d27、f(x) cos nxd(n=0,1,2,) =0 证明(1)设f(x)是奇函数, f∫(x) cos ndx=0(n=0,1,2,3,…) T 奇函数 Http://www.heut.edu.cn

(2)当周期为2的偶函数 f ( x)展开成傅里叶级 数时,它的傅里叶系数为 0 ( 1,2, ) ( )cos ( 0,1,2, ) 2 0   = = =  =   b n a f x nxdx n n n 证明 (1)设f (x)是奇函数,   =  − an f (x)cos nxdx 1 = 0 (n = 0,1,2,3, ) 奇函数

高数课程妥媒血课件 镭理工大理>> f()sin ndx=-Jof()sin ndx T T 偶函数 (n=1,2,3,…) 同理可证(2) 定理证毕 如果f(x)为奇函数傅氏级数∑ b sinn 称为正弦级数 如果f(x)为偶函数,傅氏级数+∑anc0smnx 称为余弦级数 Http://www.heut.edu.cn

  =  0 ( )sin 2 f x nxdx (n = 1,2,3, ) 同理可证(2) 如果 f ( x)为奇函数,傅氏级数 b nx n n sin 1   = 称为正弦级数. 如果 f (x)为偶函数, 傅氏级数 a nx a n n cos 2 1 0 +   = 称为余弦级数.   =  − bn f (x)sinnxdx 1 偶函数 定理证毕. 定义

高数课程妥媒血课件 理工大理原>> 例 设f(x)是周期为2π的周期函数,它在[-兀,7)上 的表达式为f(x)=x,将f(x)展开成傅氏级数 解所给函数满足狄利克雷充分条件 在点x=(2k+1)π(k=0,±1,±2,)处不连续, 收敛于f=0+(死+0)=死+(-m2=0, 2 2 在连续点x(x≠(2k+1)π)处收敛于f(x), Http://www.heut.edu.cn

设 f (x)是周期为2 的周期函数,它在[−,)上 的表达式为 f (x) = x,将f (x) 展开成傅氏级数. 解 所给函数满足狄利克雷充分条件. 在点x = (2k +1)(k = 0,1,2, )处不连续, 2 f ( − 0) + f (− + 0) 收敛于 2  + (−) = = 0, 在连续点x(x  (2k +1))处收敛于f (x), 例 1

高数课程妥媒血课件 镭理工大理>> x≠(2k+1)时∫(x)是以2π为周期的奇函数, 和函数图象 3 T 2丌3π 0,(n=0,1,2,…) Http://www.heut.edu.cn

−   − 3 − 2 −   2 3 x y0  x  (2k +1)时 f (x)是以2为周期的奇函数, 和函数图象a = 0, (n = 0,1,2,) n

高数课程妥媒血课件 镭理工大理>> f(r)sin ndx nc Josin nrdr 2. xcosnx sinn 十 n coST=-(-1) n+1 (n=1,2,) n n f(x)=2(sin x--sin 2x +sin 3x-.) 3 n+1 ∑ SInn n=1 (-00<x<+∞;x≠士兀3π,) Http://www.heut.edu.cn

  =  0 ( )sin 2 bn f x nxdx   =  0 sin 2 x nxdx  − +  = 2 0 ] cos sin [ 2 n nx n x nx = − n n cos 2 ( 1) , 2 +1 = − n n (n = 1,2, ) sin3 ) 3 1 sin2 2 1 f (x) = 2(sin x − x + x − sin . ( 1) 2 1 1   = + − = n n nx n (−  x  +; x  ,3, )

高数课程妥媒血课件 镭理工大理>> y=2(sin x- Sin 2x+ sin 3x- sin 4x+=sin 5x) 3 5 观察两函数图形 =X 1 Http://www.heut.edu.cn

sin5 ) 51 sin4 41 sin 3 31 sin 2 21 y = 2(sin x − x + x − x + x y = x 观察两函数图形

高数课程妥媒血课件 理工大理>> 例2将周期函数u()= E sint展开成傅氏级数,其中 E是正常数 解所给函数满足狄利克雷充分条件,在整个 数轴上连续 () u()为偶函数, ao Jo u(t)dt=4SEsintdt-4f xtt 2丌 T T 2 Fz 元 Http://www.heut.edu.cn

将周期函数u(t) = Esin t 展开成傅氏级数,其中 E是正常数. 解 所给函数满足狄利克雷充分条件, 在整个 数轴上连续. u(t)为偶函数,  = 0, bn  =   0 0 ( ) 2 a u t dt t u(t) − 2 −  0  2 E   =  0 sin 2 E tdt , 4  E = (n = 1,2, ) 例 2

高数课程妥媒血课件 镭理工大理隙>> Sou(t)cos ndt n Jo Esint cos ndt E 2 (sin(n+1)t-sin(n-1itldt E cos(n+It, cos(n-1) 元 = n+1 (n≠1) 0 4E 当n=2k I(2k)2-1 (k=1,2,…) 当n=2k+1 Http://www.heut.edu.cn

  =  0 ( )cos 2 a u t ntdt n   =  0 sin cos 2 E t ntdt  = + − −   0 [sin(n 1)t sin(n 1)t]dt E     = + = −  − = 0, 2 1 , 2 [(2 ) 1] 4 2 n k n k k E 当 当 (k = 1,2, )   1 0 cos( 1) 1 cos( 1)       − − + + + = − n n t n E n t (n  1)