河北理工学院：《高等数学》课程教学资源（PPT课件讲稿）第八章 多元函数微分法及其应用（8.7）方向导数与梯度

高数课程妥媒血课件 镭理工大理>> 第七节方向导教与 ●问题的提出 方向导数的定义 ◎梯度的概念 小结与思考题 Http://www.heut.edu.cn

第七节 方向导数与梯度 问题的提出 小结与思考题 方向导数的定义 梯度的概念

高数课程妥媒血课件 镭理工大理>> 问题的提出 实例一块长方形的金属板,四个顶点的坐 标是(1,1),(5,1),(1,3),(5,3).在坐标原点 处有一个火焰,它使金属板受热.假定板上 任意一点处的温度与该点到原点的距离成反 比.在(3,2)处有一个蚂蚁,问这只蚂蚁应沿 什么方向爬行才能最快到达较凉快的地点? 问题的实质:应沿由热变冷变化最骤烈的方 向(即梯度方向)爬行 Http://www.heut.edu.cn

实例：一块长方形的金属板，四个顶点的坐 标是(1,1)，(5,1)，(1,3)，(5,3)．在坐标原点 处有一个火焰，它使金属板受热．假定板上 任意一点处的温度与该点到原点的距离成反 比．在(3,2)处有一个蚂蚁，问这只蚂蚁应沿 什么方向爬行才能最快到达较凉快的地点？ 问题的实质：应沿由热变冷变化最骤烈的方 向（即梯度方向）爬行． 实例 一、问题的提出

高数课程妥媒血课件 镭理工大理>> 二、方向导数的定义 讨论函数z=∫(x,y)在一点P沿某一方向 的变化率问题 设函数z=f(x,y)在点 P(x,y)的某一邻域U(P) 内有定义,自点P引射线L 设x轴正向到射线l的转角 为p,并设P(x+Ax,y+y)0 为l上的另一点且P∈U(p).(如图) Http://www.heut.edu.cn

讨论函数 在一点P沿某一方向 的变化率问题． z = f (x, y) o y x  l • P x y • P 内有定义，自点 引射线 ． • 的某一邻域 设函数 在点 P l P x y U P z f x y ( , ) ( ) = ( , ) ( ). , ( , ) l P U p P x x y y x l   +  +  为 上的另一点且 为 并设 设 轴正向到射线 的转角  （如图） 二、方向导数的定义

高数课程妥媒血课件 镭理工大理>> I PPp=v(Ax)2+(Ay) 且△z=f(x+△x,y+△y)-f(x,y) 考虑, 当P'沿着l趋于P时, lm(x+△x,y+4y)-f(x,y)是否存在? →>0 Http://www.heut.edu.cn

| PP |=  ( ) ( ) , 2 2 = x + y 且 z = f (x + x, y + y) − f (x, y), 当 P 沿着 l 趋于 P 时，   ( , ) ( , ) lim 0 f x + x y + y − f x y → ,  z 考虑 是否存在？

高数课程妥媒血课件 镭理工大理>> 是函数的增量f(x+△x,y+2y)-f(x,y)与 PP两点间的距离p=(△x)2+(△Ay)2之比值, 当P沿着l趋于P时,如果此比的极限存在, 则称这极限为函数在点P沿方向的方向导数 记为9 f∫(x+Δx,y+△y)-∫(x,y) n 0 依定义,函数f(x,y)在点P沿着x轴正向1={,0}、 y轴正向e2={0,3的方向导数分别为fx,,; 沿着x轴负向、y轴负向的方向导数是-fx,-J Http://www.heut.edu.cn

. ( , ) ( , ) lim  0  f x x y y f x y l f +  +  − =   → 依定义，函数 f (x, y)在点P 沿着x 轴正向 {1,0} e1 =  、 y轴正向 {0,1} e2 =  的方向导数分别为 x y f , f ； 沿着x轴负向、y 轴负向的方向导数是 x y − f ,− f . 则称这极限为函数在点 沿方向 的方向导数． 当 沿着 趋于 时，如果此比的极限存在， 两点间的距离 之比值， 定义 函数的增量 与 P l P l P PP x y f x x y y f x y   =  +  +  +  − 2 2 ( ) ( ) ( , ) ( , )  记为 定 义

高数课程妥媒血课件 镭理工大理>> 如果函数z=f(x,y)在点P(x,y)是可微 分的,那末函数在该点沿任意方向L的方向导 数都存在,且有9=0cs+9im al a ay 其中q为轴到方向L的转角 证明由于函数可微,则增量可表示为 ∫(x+Ax,y+△y)-f(x,y)=0△x+△y+0(p) 两边同除以P,得到 Http://www.heut.edu.cn

如果函数z = f ( x, y)在点P(x, y) 是可微 分的，那末函数在该点沿任意方向 L 的方向导 数都存在，且有 cos sin y f x f l f   +   =   ， 其中 为x 轴到方向 L 的转角． 证明 由于函数可微，则增量可表示为 ( , ) ( , ) y o( ) y f x x f f x x y y f x y  +    +   +  +  − = 两边同除以  , 得到 定 理

高数课程妥媒血课件 镭理工大理>> f(x+Ax,y△y)-f(x,y)fAx可A,0() a P 故有方向导数 of al lim J(x+Ax, y+Ay)-f(x,y) →0 =CoS卯+Sn卯 a Http://www.heut.edu.cn

cos sin      ( , ) ( , ) y o( ) y x f x f x x y y f x y f +     +     = +  +  − 故有方向导数   ( , ) ( , ) lim 0 f x + x y + y − f x y → cos sin. y f x f   +   = =   l f

高数课程妥媒血课件 镭理工大理>> 例1求函数z=Xe在点P(,0)处沿从点 P(,0)到点Q(2,-1)的方向的方向导数 解这里方向即为PQ={1,-1}, T 故x轴到方向l的转角9=4 z z 2 ce ax (1,0) (1,0) (1,0) 所求方向导数 z =c0s(-)+2Sin(2 2 Http://www.heut.edu.cn

例 1 求函数 y z xe 2 = 在点P(1,0)处沿从点 P(1,0)到点Q(2,−1)的方向的方向导数. 解 故x轴到方向 l  的转角 4   = − . 1; (1,0) 2 (1,0) = =   y e x z  2 2, (1,0) 2 (1,0) = =   y xe y z 所求方向导数 ) 4 ) 2sin( 4 cos(  + −  = −   l z . 2 2 = − 这里方向l  即为PQ = {1,−1}

高数课程妥媒血课件 镭理工大理>> 例2求函数∫(x,y)=x2-xy+y2在点(1,1) 沿与x轴方向夹角为的方向射线的方向导数并 问在怎样的方向上此方向导数有 (1)最大值;(2)最小值;(3)等于零? 解由方向导数的计算公式知 f(1, 1)cos a+f(, sina =(2x-y) (n,C0Sa+(2 (2y-x) sIn a (1,1) Http://www.heut.edu.cn

例 2 求函数 2 2 f (x, y) = x − xy + y 在点（1，1） 沿与x轴方向夹角为 的方向射线l  的方向导数.并 问在怎样的方向上此方向导 数有 （1）最大值； （2）最小值； （3）等于零？ 解 (1,1)cos (1,1)sin (1,1) x y f f l f = +   由方向导数的计算公式知 (2 ) cos (2 ) sin , (1,1) (1,1) = x − y  + y − x 

高数课程妥媒血课件 镭理工大理>> = coS a+sin a =v2 sin(a+), 故(1)当=,时,方向导数达到最大值√2; (2)当a=5时,方向导数达到最小值-√2; 3 (3)当α=和α=时,方向导数等于0 4 Http://www.heut.edu.cn

= cos + sin ), 4 2sin(  =  + 故 （1）当 4   = 时， 方向导数达到最大值 2; （2）当 4 5  = 时， 方向导数达到最小值− 2 ; （3）当 4 3  = 和 4 7  = 时， 方向导数等于 0