河北理工学院：《高等数学》课程教学资源（PPT课件讲稿）第八章 多元函数微分法及其应用（8.6）微分法的几何应用

高数课程妥媒血课件 镭理工大理>> 空间曲线的物线与法平 曲面的切平面与法线 要 点 Http://www.heut.edu.cn

第六节 微分法的几何应用 空间曲线的切线与法平面 曲面的切平面与法线 要 点

高数课程妥媒血课件 镭理工大理>> 空间曲绲的切绲与法平面 x=(t) 设空间曲线的方程{y=v() z=0 (1)式中的三个函数均可导 M 设M(x0,y,x,对应于t=t6; M'(x0+△x,y+y,+△z) 对应于t=t0+△. X Http://www.heut.edu.cn

设空间曲线的方程 (1) ( ) ( ) ( )      = = = z t y t x t    o z y x (1)式中的三个函数均可导. M • . ( , , ) 0 0 0 0 t t t M x x y y z z = +   +  +  +  对应于( , , ), ; 0 0 0 0 设 M x y z 对应于t = t • M 一、空间曲线的切线与法平面

高数课程妥媒血课件 镭理工大理>> 割线MM′的方程为 M x-o y=yo 3- M △v △ △ 考察割线趋近于极限位置—切线的过程 上式分母同除以Mt, x-x0y-y0_2-50 = △v △ △z △t △t Http://www.heut.edu.cn

考察割线趋近于极限位置——切线的过程 z z z y y y x x x  − =  − =  − 0 0 0 t t t 上式分母同除以 t, o z y x M • 割线 MM 的方程为 • M  , 0 0 0 z z z y y y x x x  − =  − =  −

高数课程妥媒血课件 镭理工大理>> 当M→M,即Δt→0时, 曲线在M处的切线方程 X-x0_y-y0_z-3 φ"(t0)v(t)a(t) 切向量:切线的方向向量称为曲线的切向量 T=o(to,'(to),a(toN 法平面:过M点且与切线垂直的平面 p(t)(x-x)+v'(t0)(y-y)+0()(z-)=0 Http://www.heut.edu.cn

当M → M,即t → 0时 , 曲线在M处的切线方程 . ( ) ( ) ( )0 0 0 0 0 0 t z z t y y t x x    − =  − =  − 切向量：切线的方向向量称为曲线的切向量. T = (t 0 ),(t 0 ),(t 0 )  法平面：过M点且与切线垂直的平面. (t 0 )(x − x0 ) +(t 0 )( y − y0 ) +(t 0 )(z − z0 ) = 0

高数课程妥媒血课件 镭理工大理>> 例1求曲线r:x=e" cosudu,y=2sint +c0st,z=1+e在t=0处的切线和法平面方程 解当t=0时,x=0,y=1,z=2, x'=e cost, y=2cost-sint, z=3er →>x'(0)=1,y(0)=2,z(0)=3, 切线方程x=0=y-1=2-2 2 法平面方程x+2(y-1)+3(z-2)=0, 即x+2y+3z-8=0 tt p : // h

例1 求曲线 :  = t u x e udu 0 cos ，y = 2sin t + cost, t z e 3 = 1+ 在t = 0处的切线和法平面方程. 解 当t = 0时， x = 0, y = 1,z = 2, x e cost, t  = y = 2cost − sint, 3 , 3t z  = e  x(0) = 1, y(0) = 2, z (0) = 3, 切线方程 , 3 2 2 1 1 0 − = − = x − y z 法平面方程 x + 2( y − 1) + 3(z − 2) = 0, 即 x + 2 y + 3z − 8 = 0

高数课程妥媒血课件 镭理工大理>> 特殊地: 1空间曲线方程为」y=y(x) lz=y(x) 在M(x 05y0,40 )处, 切线方程为 x-xo y-yo% 1p(x0)v(x) 法平面方程为 (x-x0)+p(x0)(y-y0)+v(x0)(z-z0)=0 Http://www.heut.edu.cn

1.空间曲线方程为 , ( ) ( )    = = z x y x   ( , , ) , 在M x0 y0 z0 处 , 1 ( ) ( )0 0 0 0 0 x z z x x x y y   − =  − = − ( ) ( )( ) ( )( ) 0. x − x0 +  x0 y − y0 + x0 z − z0 = 法平面方程为 切线方程为 特殊地：

高数课程妥媒血课件 镭理工大理>> 2空间曲线方程为{F(k,3)=0, G(x,y,z)=0 x-a y=y 0 切线方程为FF=FF x GG GG GG x10 法平面方程为 (x-x0)+ (y-y)+ Z-Z GG GG 0 0 ylo =0 Http://www.heut.edu.cn

2.空间曲线方程为 , ( , , ) 0 ( , , ) 0    = = G x y z F x y z 切线方程为 , 0 0 0 0 0 0 x y x y z x z x y z y z G G F F z z G G F F y y G G F F x x − = − = − 法平面方程为 0. ( ) ( ) ( ) 0 0 0 0 0 0 = − + − + z − z G G F F y y G G F F x x G G F F x y x y z x z x y z y z

高数课程妥媒血课件 镭理工大理>> 例2求曲线x2+y2+x2=6,x+y+z=0在 点(1,-2,1)处的切线及法平面方程 解1直接利用公式; 解2将所给方程的两边对x求导并移项,得 dy dz dyz-x 十z d x dx J-3 dy, da 十 dz x dxdx J-3 Http://www.heut.edu.cn

例 2 求曲线 6 2 2 2 x + y + z = ，x + y + z = 0在 点(1,−2, 1)处的切线及法平面方程. 解 1 直接利用公式; 解 2 将所给方程的两边对x 求导并移项，得      + = − + = − 1 dx dz dx dy x dx dz z dx dy y  , y z z x dx dy − − = , y z x y dx dz − − =

高数课程妥媒血课件 镭理工大理>> dy (1,-2,1) (1,-2,1) 由此得切向量T={1,0,-1} x-1y+2z-1 所求切线方程为 0 法平面方程为(x-1)+0·(y+2)-(z-1)=0, →x-z=0 Http://www.heut.edu.cn

由此得切向量 T = {1, 0,−1},  所求切线方程为 , 1 1 0 2 1 1 − − = + = x − y z 法平面方程为 (x − 1) + 0 ( y + 2) − (z − 1) = 0,  x − z = 0 0, (1, 2, 1) = dx − dy  1, (1, 2, 1) = − dx − dz

高数课程妥媒血课件 镭理工大理>> 二、曲面的勿平面与法线 设曲面方程为 F(x,y,z)=0 在曲面上任取一条通 过点M的曲线 F:{y=y(t), 曲线在M处的切向量T={(t),v'(t0),o(t0), Http://www.heut.edu.cn

设曲面方程为 F(x, y,z) = 0 { ( ), ( ), ( )}, 0 0 0 T =  t  t  t  曲线在M处的切向量 在曲面上任取一条通 过点M的曲线 , ( ) ( ) ( ) :      = = =  z t y t x t    n  T  M 二、曲面的切平面与法线