河北理工学院：《高等数学》课程教学资源（PPT课件讲稿）第九章 重积分（9.3）二重积分的应用

高数课程妥媒血课件 镭理工大理>> 第三节二重积分的应用 曲面的面积 ●平面薄板的重心 ●平面薄板的转动惯量 典型例题分析 Http://www.heut.edu.cn

第三节 二重积分的应用 曲面的面积 典型例题分析 平面薄板的重心 平面薄板的转动惯量

高数课程妥媒血课件 镭理工大理>> 曲面的面积 1.设曲面的方程为:z=f(x,y 在xoy面上的投影区域为D, S 如图,设小区域d∈D, 点(x,y)∈lo, ∑为S上过M(x,y,f(x,y) J 的切平面 o 以do边界为准线,母线平行于z轴的小 柱面,截曲面s为ds;截切平面∑为dA, 则有dA≈ds Http://www.heut.edu.cn

１．设曲面的方程为： z = f (x, y) 在 xoy 面上的投影区域为 D, 设小区域 d  D, 点(x, y) d , . ( , , ( , )) 的切平面  为 S 上过 M x y f x y dA ds. s ds dA d z    则有 柱面，截曲面 为 ；截切平面 为 ， 以 边界为准线，母线平行于 轴的小 如图， d (x, y) M dA x y z s  o  一、曲面的面积

高数课程妥媒血课件 镭理工大理>> da为l4在xoy面上的投影,∴dσ=d4.cosy, C0sy=,42,A2 +f 十 J d4=、1+f2+f2lo曲面s的面积元素 4= ∫+厂2+flo, 曲面面积公式为:A=1+()+()d D Http://www.heut.edu.cn

d 为dA 在 xoy 面上的投影,  d = dA cos , , 1 1 cos 2 2 x y + f + f   = dA = + f x + f y d 2 2 1 1 , 2 2   = + + D A f x f y d 曲面S的面积元素 曲面面积公式为： A dxdy Dxy y z x z      = + + 2 2 1 ( ) ( )

高数课程妥媒血课件 镭理工大理>> 同理可得 2.设曲面的方程为:x=g(y,z) 曲面积公式为:A=1+()+()d; 3.设曲面的方程为:y=h(x,x) 曲面积公式为:A=∫1+()+()hd D Http://www.heut.edu.cn

３．设曲面的方程为： y = h(z, x) 曲面面积公式为： 1 ( ) ( ) . 2 2 A dzdx Dzx x y z y      = + + ２．设曲面的方程为： x = g( y,z) 曲面面积公式为： 1 ( ) ( ) ; 2 2 A dydz Dy z z x y x      = + + 同理可得

高数课程妥媒血课件 镭理工大理>> 例1求球面x2+y2+z2=a2,含在圆柱体 x2+y2=ax内部的那部分面积 解由对称性知A=441, D1:x2+y2≤ax(x,y≥0) 曲面方程z=√a2-x2-y 0.5 于是1+()+(傍) Http://www.heut.edu.cn

例 1 求球面 2 2 2 2 x + y + z = a ，含在圆柱体 x + y = ax 2 2 内部的那部分面积. 由对称性知A = 4A1 , D1：x + y  ax 2 2 曲面方程 2 2 2 z = a − x − y , 于是 ( ) ( ) 2 2 1 y z x z     + + , 2 2 2 a x y a − − = 解 (x, y  0)

高数课程妥媒血课件 镭理工大理>> 面积A=41+x2+x,dy 2 dxdy DI 4a o de acos √a2-r =2a2-4a2 Http://www.heut.edu.cn

面积A z z dxdy D =  + x + y 1 2 2 4 1  − − = 1 2 2 2 4 D dxdy a x y a    − =   cos 0 0 2 2 1 4 2 a rdr a r a d 2 4 . 2 2 = a − a

高数课程妥媒血课件 镭理工大理>> 例2求由曲面x2+y2=0z和z=2a-1x2+y2 (a>0)所围立体的表面积 解解方程组 x +y=az z=2a-√x2+y 2 2 2 x十 得两曲面的交线为圆周 Z=a 在平面上的投影域为Dn:x2+y2≤a2, 由z=(x2+y2)得x 2x y Http://www.heut.edu.cn

例 2 求由曲面x + y = az 2 2 和 2 2 z = 2a − x + y (a  0)所围立体的表面积. 解 解方程组 , 2 2 2 2 2    = − + + = z a x y x y az 得两曲面的交线为圆周 , 2 2 2    = + = z a x y a 在 xy 平面上的投影域为 : , 2 2 2 Dxy x + y  a 由 ( )得 1 2 2 x y a z = + , 2 a x zx = , 2 a y z y =

高数课程妥媒血课件 镭理工大理>> 2 2 z十 (2x 十 a+4x2+4y2 由z=2a-x2+y知、1+x+x=2, 故S=』a2+4x2+4y2d+2d 2π d a2+4r2.rbr+、2a2 0 2 (6√2+55-1 Http://www.heut.edu.cn

+ + = 2 2 1 x y z z 2 2 2 2 1        +      + a y a x 4 4 , 1 2 2 2 a x y a = + + 由z = 2a − x 2 + y 2知 + + = 2 2 1 x y z z 2, a x y dxdy a S Dxy  = + + 2 2 2 4 4 1 故 dxdy Dxy  + 2 a r rdr a d a =  +     0 2 2 2 0 4 1 2 + 2a (6 2 5 5 1). 6 2 + −  = a

高数课程妥媒血课件 镭理工大理>> 二、平面薄片的重心(x,y) 设xoy平面上有n个质点,它们分别位于 (x1,y),(x2,y2),…,(xn,yn)处,质量分别 为m1 9225 则该质点系的重心的坐标为 ∑m1x M ∑ M y ∑ M ∑ I=」 Http://www.heut.edu.cn

设xoy平面上有n 个质点，它们分别位于 ( , ) 1 1 x y ，( , ) 2 2 x y ，,( , ) n n x y 处，质量分别 为m m mn , , , 1 2  ．则该质点系的重心的坐标为   = = = = n i i n i i i y m m x M M x 1 1 ，   = = = = n i i n i i i x m m y M M y 1 1 ． 二、平面薄片的重心 (x, y)

高数课程妥媒血课件 镭理工大理>> 设有一平面薄片,占有xoy面上的闭区域D, 在点(x,y)处的面密度为P(x,y),假定p(x,y)在 D上连续,平面薄片的重心 xp(x, y)do yp(x, y)do 由元素法x=P p(x,do p(x, y)do 当薄片是均匀的,重心称为形心 xdo, y= 4 Jyd其中A=』l tt p : // h

当薄片是均匀的，重心称为形心. , 1  = D xd A x  . 1  = D yd A y  =  D 其中 A d , ( , ) ( , )   = D D x y d x x y d x     . ( , ) ( , )   = D D x y d y x y d y     由元素法 设有一平面薄片，占有xoy面上的闭区域D ， 在点(x, y)处的面密度为(x, y)，假定(x, y) 在 D上连续，平面薄片的重心