河北理工学院：《高等数学》课程教学资源（PPT课件讲稿）第八章 多元函数微分法及其应用（8.4）多元复合函数的求导法则

高数课程妥媒血课件 镭理工大理>> 第四节多元复合函教的求导法贝 链式法则 全微分的形式不变性 小结与思考题 Http://www.heut.edu.cn

第四节 多元复合函数的求导法则 链式法则 全微分的形式不变性 小结与思考题

高数课程妥媒血课件 镭理工大理>> 一、链式法则 定理 如果函数u=()及v=y()都在点可导, 函数z=∫(u,y)在对应点(,v)具有连续偏导数, 则复合函数x=∫小(t),y()在对应点可导,且 其导数可用下列公式计算: 十 dt au dt av dt 证设t获得增量△, 则△=(t+△)-y(t),△v=y(t+△t)-y(t); H tt p:// h

证 则 u = (t + t) − (t), v = (t + t) − (t); 如果函数u = (t)及v = (t)都在点t 可导， 函数z = f (u,v)在对应点(u,v)具有连续偏导数， 则复合函数z = f [(t), (t)]在对应点t 可导，且 其导数可用下列公式计算： dt dv v z dt du u z dt dz   +   = ． 设 t 获得增量 t， 定理 一、链式法则

高数课程妥媒血课件 镭理工大理>> 由于函数z=f(u,v)在点(,v)有连续偏导数 oz △u+ 0xv+61A+E2△v, 当△→0,Δ卩→>0时,E1→0,E2→>0 △zOz△uaz△v △v 十E1 △tu△toy△t △x61△t 当∧t→>0时,△u→>0,△→0 △pd △tt △ttt Http://www.heut.edu.cn

由于函数z = f (u,v)在点(u,v) 有连续偏导数 , 1 2 v u v v z u u z z  +  +     +    =   当u → 0，v → 0时，  1 → 0， 2 → 0 t v t u t v v z t u u z t z   +   +      +      =   1 2   当t → 0时， u → 0，v → 0 , dt du t u →   , dt dv t v →  

高数课程妥媒血课件 镭理工大理>> △ z az du az dv =m 十 dtM-→0△ t au dt av 上定理的结论可推广到中间变量多于两个的情况. dz az du az dv az dw 如 十 dt au dt av dt an dt 以上公式中的导数称为全导数 Http://www.heut.edu.cn

lim . 0 dt dv v z dt du u z t z dt dz t     +   =   =  → 上定理的结论可推广到中间变量多于两个的情况. 如 dt dw w z dt dv v z dt du u z dt dz   +   +   = u v w z t 以上公式中的导数 称为全导数. dt dz

高数课程妥媒血课件 镭理工大理>> 上定理还可推广到中间变量不是一元函数 而是多元函数的情况:乙 D),y(x,y 如果l=p(x,y)及v=v(x,y)都在点x,y) 具有对x和y的偏导数,且函数z=∫(u,v)在对应 点(u,v)具有连续偏导数,则复合函数 z=∫|p(x,y),y(x,y)在对应点x,y)的两个偏 导数存在,且可用下列公式计算 ax au ax av ax ay au ay av ay Http://www.heut.edu.cn

上定理还可推广到中间变量不是一元函数 而是多元函数的情况： z = f[(x, y),(x, y)]. 如果u = (x, y)及v = ( x, y)都在点(x, y) 具有对x和y 的偏导数，且函数z = f (u,v)在对应 点(u,v)具有连续偏导数，则复合函数 z = f [(x, y), (x, y)]在对应点(x, y) 的两个偏 导数存在，且可用下列公式计算 x v v z x u u z x z     +     =   ， y v v z y u u z y z     +     =  

高数课程妥媒血课件 镭理工大理>> 链式法则如图示 oz az au az av ax au ax ay ax azaz au az av ay au ay av Http://www.heut.edu.cn

u v x z y 链式法则如图示 =   x z    u z x u      + v z , x v   =   y z    u z y u      + v z . y v  

高数课程妥媒血课件 镭理工大理>> 类似地再推广,设u=p(x,y)、ν=v(x,y)、 w=w(x,y)都在点(x,y)具有对x和y的偏导数,复 函数z=∫|y(x,y,y(x,y),w(x,y)在对应点(x,y) 两个偏导数存在,且可用下列公式计算 zon0oνza 十 十 ax du ax av ax'Owax’ ￠0,azow 十 ay au ay Ov ay aw ay tt p : // h

类似地再推广，设u = (x, y)、v = ( x, y)、 w = w( x, y)都在点(x, y)具有对x和 y的偏导数，复合 函数z = f[(x, y), (x, y), w(x, y)]在对应点(x, y) 两个偏导数存在，且可用下列公式计算 x w w z x v v z x u u z x z     +     +     =   , y w w z y v v z y u u z y z     +     +     =   . z w v u y x

高数课程妥媒血课件 镭理工大理>> 特殊地z=f(u,x,y)其中l=叭(x,y) 即z=∫|(x,y),x,y,令ν=x,w=y, ay ay 0. 0. ax ax 区 az af au afO af au, f 十 别类 ax au ax ax ay au ay ay 两者的区别 把z=∫(,x,y) 把复合函数z=∫叭(x,y),x,y中的及y看作不 中的y看作不变而欢的偏导数变而对x的偏导数 Http://www.heut.edu.cn

特殊地 z = f ( u, x, y ) u = ( x, y ) 即 z = f[(x, y), x, y], , xf xu uf xz  +   =  . yf yu uf yz  +   =  令 v = x , w = y , 其中 = 1 , xv = 0 , xw = 0 , yv = 1 . yw 把复合函数 z = f [( x, y), x, y] 中的y 看作不变而对x 的偏导数 把 z = f (u, x, y) 中的 u 及 y 看作不 变而对x 的偏导数 两者的区别 区别类似

高数课程妥媒血课件 镭理工大理>> 例1设z=e"sinν,而=,ν=x+y, 求以和 ax a 解ax e sinv y+e cosv1 =e(sin v+ cos v), az az Ou az av Oy au ay·avay =e sinv.x+e cosvI =e(xsin v+ cos v) Http://www.heut.edu.cn

例 1 设z e v u = sin ，而u = xy，v = x + y ， 求 x z   和 y z   . 解 =   x z    u z x u      + v z x v   = e sinv  y + e cosv 1 u u e ( ysinv cos v), u = + =   y z    u z y u      + v z y v   = e sinv  x + e cosv 1 u u e (xsinv cos v). u = +

高数课程妥媒血课件 镭理工大理>> 例2设z=wv+sint,而u=e',v=cost 求全导数 dt 解 dz az du a dy az 十 dt au dt ay dt at ve -usint+ cos t =e cost-e sint+ cos t =e(cost-sin t)+cost. Http://www.heut.edu.cn

例 2 设z = uv + sint，而 t u = e ，v = cos t ， 求全导数 dt dz . 解 t z dt dv v z dt du u z dt dz    +    +   = ve u t t t = − sin + cos e t e t t t t = cos − sin + cos e (cost sin t) cost. t = − +