河北理工学院：《高等数学》课程教学资源（PPT课件讲稿）第十章 曲线积分与曲面积分（10.5）对坐标的曲面积分

高数课程妥媒血课件 镭理工大理>> 第五节对 欢侧曲面的概念 对坐标的曲面积分的概念与性质 对坐标的曲面积分的计算 两类曲面积分之间的联系 Http://www.heut.edu.cn

第五节 对坐标的曲面积分 双侧曲面的概念 两类曲面积分之间的联系 对坐标的曲面积分的概念与性质 对坐标的曲面积分的计算

高数课程妥媒血课件 镭理工大理>> 侧曲面的概念 观察以下曲面的侧(假设曲面是光滑的) 曲面分上侧和下侧曲面分内侧和外侧 Http://www.heut.edu.cn

观察以下曲面的侧 (假设曲面是光滑的) 曲面分上侧和下侧 曲面分内侧和外侧 一、双侧曲面的概念

高数课程妥媒血课件 镭理工大理>> 曲面的分类:1双侧曲面;2.单侧曲面 典型双侧曲面 2 口 2 Http://www.heut.edu.cn

n  曲面的分类: 1.双侧曲面; 2.单侧曲面. 典 型 双 侧 曲 面

高数课程妥媒血课件 镭理工大理>> 典型单侧曲面:莫比乌斯带 播放」 Http://www.heut.edu.cn

典型单侧曲面: 莫比乌斯带 播放

高数课程妥媒血课件 镭理工大理>> 曲面法向量的指向决定曲面的侧 决定了侧的曲面称为有向曲面 曲面的投影问题:在有向曲面∑上取一小块 曲面AS△S在xop面上的投影(△S)为 (△a)x当cosy>0时 (△S)y={-(△a)当c0sy<0时 当cosy=0时 其中(△)表示投影区域的面积 Http://www.heut.edu.cn

曲面法向量的指向决定曲面的侧. 决定了侧的曲面称为有向曲面. 曲面的投影问题: , S在xoy面 在有向曲面Σ上取一小块 . 0 cos 0 ( ) cos 0 ( ) cos 0 ( )      = −      = 当 时 当 时 当 时      x y x y S x y 其中( ) 表示投影区域的面积.  xy 曲面 S 上的投影(S) xy为

高数课程妥媒血课件 镭理工大理>> 二、对坐标的曲面积分的概念 实例流向曲面一侧的流量 (1)流速场为常向量ν,有向平面区域S,求单 位时间流过S的流体的质量Φ(假定密度为1) 流量 Φ= SEcos 0 Sylla 0 0 =Sν.n"=ν(Sh) Http://www.heut.edu.cn

流向曲面一侧的流量. (1) 流速场为常向量 v  ,有向平面区域 S,求单 位时间流过 S 的流体的质量 (假定密度为 1). A v  0 n   A v S S v n v Sn S v n S v =  =  =  =  =       ( ) cos cos 0 0 0   流 量 实例 二、对坐标的曲面积分的概念

高数课程妥媒血课件 镭理工大理>> (2)设稳定流动的不可压缩流体(假定密度为1) 的速度场由 v(x, y,)=P(x,y, i+o(x, y, ) j+R(x,y, zk 给出,Σ是速度场中的一片有向曲面,函数 P(x,y,),e(,y,),R(,,z) 都在∑上连续,求在单位 时间内流向Σ指定侧的流 体的质量Φ y Http://www.heut.edu.cn

(2) 设稳定流动的不可压缩流体(假定密度为 1 ) 的速度场由 v x y z P x y z i Q x y z j R x y z k     ( , , ) = ( , , ) + ( , , ) + ( , , ) 给出,Σ是速度场中的一片有向曲面,函数 P( x, y,z), Q( x, y,z), R( x, y,z) 都在Σ上连续, 求在单位 时间内流向Σ指定侧的流 体的质量. x y z o 

高数课程妥媒血课件 镭理工大理>> 1.分割把曲面∑分成小块A,(△s,同时也代表 第小块曲面的面积), z△ 2.近似代替 (5,m,s;) 在△s,上任取一点 (5,1,5;) 则该点流速为v,法向量为n Http://www.heut

x y z o  • Si ( , , ) i i i    i v  ni  把曲面Σ分成n 小块 i s ( i s 同时也代表 第i小块曲面的面积) , 1. 分割 在 si 上任取一点 ( , , )  i i  i 2. 近似代替 i v  则该点流速为 ni  法向量为

高数课程妥媒血课件 镭理工大理>> v=v(5;,n,5) P(5,m,5)+Q(51,m1,5)+R(5,71,5)k, 该点处曲面∑的单位法向量 n;=cos a, i + cos Bj+ cos y, k 通过△s流向指定侧的流量的近似值为 0 AS(i=1,2,…,n) 3.求和通过Σ流向指定侧的流量 ①≈∑ n∠S Http://www.heut

该点处曲面Σ的单位法向量 ni i i i j i k     cos cos  cos  0 = + + , 通过 i s 流向指定侧的流量的近似值为 v n S vi S (i , , ,n). i i i 1 2  0   =   = ( , , ) ( , , ) ( , , ) , ( , , ) P i Q j R k v v i i i i i i i i i i i i i                 = + + = 3. 求和 通过Σ流向指定侧的流量 =   n i i n Si v 1 0  

高数课程妥媒血课件 镭理工大理>> d≈ =∑{P(5,m,41)2Q(5,m,5,R(5,m,5 (cos ai, cos Bi, COSy, J4S =∑{P(5,m,51),Q(51,n,5),R(5,m,5 icos a AS;, cos B; 4S;, COS y; AS,) =∑{P(5,m,5Q(5,m,51),R(5,n,9 i=1 cos a: AS;, cos B, 4S;, COS y: 4S Http://www.he.edu.cn

=   n i i n Si v 1 0   i i i i i i i i i i n i i i i S P Q R              {cos , cos , cos } = { ( , , ), ( , , ), ( , , )} • =1 {cos , cos , cos } { ( , , ), ( , , ), ( , , )} i i i i i i i i i i i i n i i i i S S S P Q R       =           • =1 {cos , cos , cos } { ( , , ), ( , , ), ( , , )} i i i i i i i i i i i i n i i i i S S S P Q R       =           • =1