河北理工学院：《高等数学》课程教学资源（PPT课件讲稿）第十章 曲线积分与曲面积分（10.3）格林公式及其应用二

高数课程妥媒血课件 镭理工大理>> 第三节格林公式及其成距 曲线积分与路经无关的定义 曲线权分与路经无关的杀件 二元函数的全微分求积 小结 Http://www.heut.edu.cn

第三节 格林公式及其应用（2） 曲线积分与路经无关的定义 小结 曲线积分与路经无关的条件 二元函数的全微分求积

高数课程妥媒血课件 镭理工大理>> 曲线积分与路径无关的定义 如果在区域G内有 Px+Q小y B =[P+c小 A 则称曲线积分P+小在G内与路径无关 否则与路径有关 Http://www.heut.edu.cn

G y o x  + L1 Pdx Qdy 则称曲线积分 + L Pdx Qdy在G 内与路径无关,  + L2 Pdx Qdy L1 L2  B A  如果在区域G内有 = 否则与路径有关. 一、曲线积分与路径无关的定义

高数课程妥媒血课件 镭理工大理>> 为什么要讨论曲线积分Px+Q小 与路经无关呢? 题 从数学角度看:曲线积分P+Q与路经无关, 则可选一条比较簡单的路经简化曲线积分的讣算。 从物理角度香:曲线积分∫Pd+小与路经无关, 就是指力作功与路经无关。在这种情况下,可选 择简单路经使功的计算简化。 Http://www.heut.edu.cn

思 考 题 为什么要讨论曲线积分 与路经无关呢？  + c Pdx Qdy 从数学角度看：曲线积分 与路经无关， 则可选一条比较简单的路经简化曲线积分的计算。  + c Pdx Qdy 从物理角度看：曲线积分 与路经无关， 就是指力作功与路经无关。在这种情况下，可选 择简单路经使功的计算简化。  + c Pdx Qdy

高数课程妥媒血课件 镭理工大理>> 二、曲线积分与路径元关的条件 理为设开区域G是一个单连通域,函数 P(x,y),Q(x,y)在G内具有一阶连续偏导数, 则曲线积分∫P+小在G内与路径无关 (或沿G内任意闭曲线的曲线积分为零)的充 OP 00 要条件是 在G内恒成立 ay ax Http://www.heut.edu.cn

设开区域G 是一个单连通域, 函 数 P( x, y), Q( x, y)在G 内具有一阶连续偏导数, 则曲线积分 + L Pdx Qdy 在G 内与路径无关 （或沿G 内任意闭曲线的曲线积分为零）的充 要条件是 x Q y P   =   在G 内恒成立. 定理2 二、曲线积分与路径无关的条件

高数课程妥媒血课件 镭理工大理>> 证充分性在G内任取一条闭曲线C,设曲线C围成 的闭区域为D。因为G但连通,所以DcG 在D上有 aP 8Q av a 00 aP 应用格林公式: dd=中Pag小y ax ay 00 aP 由于 dxd小y=0 ax ay 从而 Pdx+ody=0 Http://www.heut.edu.cn

证 充分性 在G内任取一条闭曲线C，设曲线C围成 的闭区域为D。 因为G但连通，所以 D  G 在D上有： x Q y P   =   应用格林公式：   = +   −   D C dxdy Pdx Qdy y P x Q ( ) ( ) = 0   −    dxdy y P x Q D 从而 由于 + = 0  C Pdx Qdy

高数课程妥媒血课件 镭理工大理>> 证必要性(反证法) 假设在区域G内沿内任意闭曲线的曲线积分为零时, OP 00 不恒成立 那么在G内至少有一点M使得: aQOP、由于 )n,≠0 ax a M 不妨假定(0P DMEn>0 ax a 由于,c在G内连续,可以在内取得一个 ay ax Http://www.heut.edu.cn

x Q y P   =   假设 在区域G内沿内任意闭曲线的曲线积分为零 时， 不恒成立 那么在G内至少有一点 M0 使得： ( ) 0 0 =    −   M η y P x Q 不妨假定 ( ) 0 0    −   M y P x Q 由于 由 于 , 在G内连续，可以在G内取得一个 x Q y p     证 必要性(反证法)

高数课程妥媒血课件 镭理工大理>> 以M为圆心,半径足够小的形闭区域K 使得在K上恒有 a aP 于是由格林公式及二重分的性质就有 00 aP Pdx +Qdy )dd≥ 这里r是K的正向边界曲线,。是K的面积 Http://www.heut.edu.cn

以M0 为圆心，半径足够小的圆形闭区域K 使得在K上恒有 2 η    −   y P x Q 于是由格林公式及二重积分的性质就有       −   + = K dxdy y P x Q σ η 2 Pdx Qdy ( ) r 这 里r是K的正向边界曲线，σ 是K的面积

高数课程妥媒血课件 镭理工大理>> 因为,>0,>0,从而 pdx +Qdy >0 这结果与沿G内任意闭曲线的曲线积 为零的假定相矛盾,可G内使= av ax 不成立的点不可能存在 oP a0 ay Ox 在G内处处成立 Http://www.heut.edu.cn

因为η  0,σ  0,从而  +  r pdx Qdy 0 x Q y P   =   不成立的点不可能存在， x Q y P   =   为零的假定相矛盾，可见 内 使 这结果与沿 内任意闭曲线的曲线积分 G G 在G内处处成立

高数课程妥媒血课件 镭理工大理>> 有关定理的说明 (1)开区域G是一个单连通域 (2)函数P(x,y),Q(x,y)在G内具有一阶连 续偏导数 两条件缺一不可 Http://www.heut.edu.cn

(1) 开区域G是一个单连通域. (2) 函数P(x, y), Q(x, y)在G 内具有一阶连 续偏导数. 两条件缺一不可 有关定理的说明

高数课程妥媒血课件 镭理工大理>> 二元函数的全微分求积 定理3设开区域G是一个单连通域,函数 P(x,y),Q(x,y)在G内具有一阶连续偏导 数,则P(x,y)dx+Q(x,y)小y在G内为某 函数u(x,y)的全微分的充要条件是等式 aP 00 在G内恒成立 Http://www.heut.edu.cn

设开区域G 是一个单连通域, 函数 P( x, y), Q( x, y)在G 内具有一阶连续偏导 数, 则P( x, y)dx + Q( x, y)dy在G 内为某一 函数u( x, y)的全微分的充要条件是等式 x Q y P   =   在G内恒成立. 定理3 三、二元函数的全微分求积