河北理工学院：《高等数学》课程教学资源（PPT课件讲稿）第九章 重积分（9.4）三重积分的计算（2）

高数课程妥媒血课件 镭理工大理>> 第四节三重积分的计算 ●在柱坐标系下三量积分的计算 ●在歌坐标系下三重积分的计算 Http://www.heut.edu.cn

第四节 三重积分的计算（2） 在柱坐标系下三重积分的计算 在球坐标系下三重积分的计算

高数课程妥媒血课件 镭理工大理>> 柱坐标系回忆: 1.平面上的极坐标系+Z轴 2.柱坐标系中的坐标:,r,z x=rcos e 3柱坐标与直角坐标的关系:{y=rsi0x2+y Z=Z 4.柱坐标的取值范围:0≤θ≤2丌,0≤r<,-∞<z<+ 5柱坐标系下的体积元:c= dadra 6.柱坐标系下坐标曲面: 0=常数过Z轴的半平面 r=常数以Z轴为中心轴的柱面 z常数平行于XOY面的平面 Http://www.heut.edu.cn

1. 平面上的极坐标系+Z轴 3. 柱坐标与直角坐标的关系：      = = = z z y r x r   sin cos 2 2 2 x + y = r x y tg = 4. 柱坐标的取值范围： 0   2 , 0  r  , −   z  +  2. 柱坐标系中的坐标：  ,r,z 柱坐标系回忆： 5. 柱坐标系下的体积元： dv = rddrdz =常数 过Z轴的半平面 z=常数 平行于XOY面的平面 r=常数 以Z轴为中心轴的柱面 6. 柱坐标系下坐标曲面：

高数课程妥媒血课件 镭理工大理>> 例1计算Ⅰ=「 eddy,其电是球面 x+224与抛物面x2+y2=3 所围的立体 三rcos 6 解由{y= rsin e,知交线为 Z=Z . 4 →z 3z Http://www.heut.edu.cn

例1 计算   I = zdxdydz，其中 是球面 4 2 2 2 x + y + z = 与抛物面x y 3z 2 2 + = 所围的立体. 解 由      = = = z z y r x r   sin cos ,    = + = r z r z 3 4 2 2 2  z = 1, r = 3, 知交线为

高数课程妥媒血课件 镭理工大理>> 把闭区域Ω投影到xoy面上,如图, 2 z≤√4-r 3 0≤r≤√3, 0≤0≤2π 3 13 de d r·z=T 0 Http://www.heut.edu.cn

    − =   2 3 2 2 4 0 3 0 r r I d dr r zdz . 4 13 =  把闭区域  投影到 xoy 面上，如图， 0 2 . 0 3, 4 3 : 2 2          − r z r r

高数课程妥媒血课件 理工大理>> 例2计算I=∫(x2+y2) dxdydz,其 Q 是曲线y=2x,x=0绕0z轴旋转一周而成 的曲面与两平面z=2,z=8所围的立体 2Z 解由 绕0z轴旋转得, 0 旋转面方程为x2+y2=2z, 所围成的立体如图, Http://www.heut.edu.cn

例２ 计算   I = (x + y )dxdydz 2 2 ， 其中 是曲线 y 2z 2 = ，x = 0 绕oz 轴旋转一周而成 的曲面与两平面z = 2,z = 8所围的立体. 解 由    = = 0 2 2 x y z 绕 oz 轴旋转得， 旋转面方程为 2 , 2 2 x + y = z 所围成的立体如图

高数课程妥媒血课件 镭理工大理>> 所围成立体的投影区域如图, D1:x2+y2=16, 0≤0≤2兀 0<r<4 ≤z≤8 2 0≤9≤2兀 0<r<2 2 x十 2 2 ≤z≤2 2 Http://www.heut.edu.cn

: D2 4, 2 2 x + y = . 2 2 0 2 0 2 : 2 2               z r r : D1 16, 2 2 x + y = , 8 2 0 4 0 2 : 1 2               z r r 所围成立体的投影区域如图， D2 D1

高数课程妥媒血课件 镭理工大理>> = 2 JJ(x2+y2)dxdydz-(x2+y2)dxdya 1 2 11m0=rh=3听 1=m)h1r,rh=2元, D 2 原式/。4 2 π=336 36 Http://www.heut.edu.cn

( ) ( ) , 1 2 2 2 2 2 1 2     = + − +  = − x y dxdydz x y dxdydz I I I   =  1 2 8 2 1 D I rdrd r fdz , 3 4 5 =    =  2 2 2 2 2 D I rdrd r fdz , 6 2 5 =  原式I =  3 4 5 −  6 2 5 = 336 .    =    8 2 4 0 2 0 2 2 r d dr r r dz    =    2 2 2 0 2 0 2 2 r d dr r r dz

高数课程妥媒血课件 镭理工大理>> 回忆球坐标系 几何解释:z 1·球坐标系下的坐标:,,r M(x,y, z) 2·球坐标与直角坐标的关系: x=rsin@ cos 6 y=sino sin 6 Z=rcos p -10.0.51 r +y+z x十 3·球坐标的取值范围: 0≤6≤2x,0≤r<∞,0<q<兀 4·球坐标系下的体积元:d=r2sing 5·球坐标系下的坐标曲面:(见图) Http://www.heut.edu.cn

1· 球坐标系下的坐标： 2· 球坐标与直角坐标的关系： 4· 球坐标系下的体积元： 3· 球坐标的取值范围：  ,,r      = = =      cos sin sin sin cos z r y r x r 2 2 2 2 x + y + z = r  2 2 2 2 x + y = r sin 0    2,0  r  ,0     sin 2 dV = r 回忆球坐标系 几何解释： P x y z o M(x, y,z)  r • •  z y x A 5· 球坐标系下的坐标曲面：（见图）

高数课程妥媒血课件 镭理工大理>> 例3计算I=(x2+y2)d,其中2是锥面 x2+y2=z2,与平面z=a(a>0)所围的立体 解1采用球面坐标 z=t→r COS 2 T x+y=z→ Q:0<r≤ isps 0<0<2π Http://www.heut.edu.cn

例 3 计算   I = (x + y )dxdydz 2 2 ，其中是锥面 2 2 2 x + y = z ， 与平面z = a (a  0)所围的立体. 解 1 采用球面坐标  z = a , cos  = a r 2 2 2 x + y = z , 4    = , 0 2 , 4 , 0 cos : 0             a r

高数课程妥媒血课件 镭理工大理>> I=J(x2+y2)dxdydz 2兀 de do cosp r sin(pdr T 3 2π4sinq O)dop cos 10 Http://www.heut.edu.cn

  I = (x + y )dxdydz 2 2 d d r dr a       =  4   0 cos 0 4 3 2 0 sin−   =     d a 0) cos ( 5 1 2 sin 5 5 4 0 3 . 10 5 a  =