麻省理工学院：《自动控制原理》课程教学资源（课件讲义）第15讲 状态空间微分方程的解

16.06第15讲 状态空间微分方程的解 John deyst 2003.108 今天的主题: 1、状态空间微分方程解的一般形式 、恒定输入时的 Quanser系统的解 3、稳定性

1 16.06 第 15 讲 状态空间微分方程的解 John Deyst 2003.10.8 今天的主题： 1、状态空间微分方程解的一般形式 2、恒定输入时的 Quanser 系统的解 3、稳定性

状态微分方程的全解 我们已获得状态微分方程的齐次解为 但是,我们需要的是全解 对于非零输入,我们假设解的形式为 其中∫()仍然是不确定的,是时间的向量函数。 首先我们求导 并且代入我们所设定的解中

2 状态微分方程的全解 我们已获得状态微分方程的齐次解为 但是，我们需要的是全解 对于非零输入，我们假设解的形式为 其中 f ( )t 仍然是不确定的，是时间的向量函数。 首先我们求导 并且代入我们所设定的解中

回过头再来考虑原始的微分方程,显然我们必须知道 或者,利用状态转移矩阵的性质1 现在对方程两边同时进行从零时刻到t时刻的积分 因此 根据设定的解,我们知道 因此

3 回过头再来考虑原始的微分方程，显然我们必须知道 或者，利用状态转移矩阵的性质 1 现在对方程两边同时进行从零时刻到 t 时刻的积分 因此 根据设定的解，我们知道 因此

因此 根据状态转移矩阵的性质2 对等式右边的积分是标量卷积积分的向量/矩阵等价形式。尤其 该项 将输入量作用的增量从过去时刻τ转换到当前时刻t 积分是对从初始时刻到当前时刻的所有增量进行求和

4 因此 根据状态转移矩阵的性质 2 对等式右边的积分是标量卷积积分的向量/矩阵等价形式。尤其 该项 将输入量作用的增量从过去时刻τ 转换到当前时刻 t 积分是对从初始时刻到当前时刻的所有增量进行求和

例: 我们将得用该解来获得 Quanser系统对电机电压阶跃输入信号的 响应。 状态矩阵为 初始状态及输入量为 我们知道状态转移矩阵是

5 例： 我们将得用该解来获得 Quanser 系统对电机电压阶跃输入信号的 响应。 状态矩阵为 初始状态及输入量为 我们知道状态转移矩阵是

因此

6 因此

这些都是在x,x2平面上的椭圆方程。特别地,我们已知 因此 这是在无阻尼条件下的状态空间轨迹。如果是正阻尼,则解是收 敛;如果是负阻尼,则解是发散的

7 这些都是在 1 2 x , x 平面上的椭圆方程。特别地，我们已知 因此 这是在无阻尼条件下的状态空间轨迹。如果是正阻尼，则解是收 敛；如果是负阻尼，则解是发散的

系统的稳定性:系统的稳定性是由系统的齐次或零输入响应的行 为决定,即为下式的解 特别地,我们已知该解由x的初始条件和状态转移矩阵决定。 因此,系统的稳定性是由Φ()的行为决定。现在,我们已知 且 因此,每一项的分母是s-A的行列式

8 系统的稳定性：系统的稳定性是由系统的齐次或零输入响应的行 为决定，即为下式的解 特别地，我们已知该解由 x的初始条件和状态转移矩阵决定。 因此，系统的稳定性是由Φ( )t 的行为决定。现在，我们已知 且 因此，每一项的分母是sI A − 的行列式

此外,系统的特征方程是 因此,矩阵Φ(1)的拉普拉斯变换的每个元素的分母与特征方程具 有相同的根。故我们能够得到很明显的结论 系统的稳定性 系统 是稳定的,当且仅当根 都位于S平面的左半平面 这里建立的 Quanser的模型是不稳定的,因为它的根是在虚轴上 的

9 此外，系统的特征方程是 因此，矩阵Φ( )t 的拉普拉斯变换的每个元素的分母与特征方程具 有相同的根。故我们能够得到很明显的结论—— 系统的稳定性 系统 是稳定的，当且仅当根 都位于 S 平面的左半平面 这里建立的 Quanser 的模型是不稳定的，因为它的根是在虚轴上 的