麻省理工学院：《自动控制原理》课程教学资源（课件讲义）第32讲 增益裕量和相角裕量

16.06第32讲 增益裕量和相角裕量 2003.11.20 今天的主题: 1、相角裕量和增益裕量的定义 2、与-1点间的距离的说明 3、举例

1 16.06 第 32 讲 增益裕量和相角裕量 2003.11.20 今天的主题： 1、相角裕量和增益裕量的定义 2、与-1 点间的距离的说明 3、举例

通常,在没有开环极点位于右半平面上的情况下,可以用增益裕 量和相角裕量来评价反馈控制系统的性能。特别地,可以根据-点附 近区域内的奈奎斯特图对系统进行性能评价。 现在考虑-1点到G(jo)曲线上的任一点的向量,它实际上就是 G(jω)+1。因此,频率为ω的闭环响应的模即为这两个向量的比值。 显然,如果曲线通过-1点,那么该比率将趋于无穷大,在该点系 统处于临界稳定状态,在该频率下系统将有一个无穷大幅值的谐振峰 值。 增益裕量和相角裕量是开环系统的模和相角变化的度量,该变化 可能导致曲线刚好通过-1点。增益裕量和相角裕量的定义如下: 增益裕量—一使G(ω)曲线通过-1点所需的开环增益增大的倍数 就是增益裕量。 相角裕量——使G(jo)曲线通过-1点所需的附加负相移就是相角 裕量

2 通常，在没有开环极点位于右半平面上的情况下，可以用增益裕 量和相角裕量来评价反馈控制系统的性能。特别地，可以根据-1 点附 近区域内的奈奎斯特图对系统进行性能评价。 现在考虑-1 点到G j ( ) ω 曲线上的任一点的向量，它实际上就是 G j ( )1 ω + 。因此，频率为ω 的闭环响应的模即为这两个向量的比值。 显然，如果曲线通过-1 点，那么该比率将趋于无穷大，在该点系 统处于临界稳定状态，在该频率下系统将有一个无穷大幅值的谐振峰 值。 增益裕量和相角裕量是开环系统的模和相角变化的度量，该变化 可能导致曲线刚好通过-1 点。增益裕量和相角裕量的定义如下： 增益裕量——使G j ( ) ω 曲线通过-1 点所需的开环增益增大的倍数 就是增益裕量。 相角裕量——使G j ( ) ω 曲线通过-1 点所需的附加负相移就是相角 裕量

考虑如下曲线 jo)曲线与负实轴的交点标为C,因此G(io)在C点的相角为 180°。在该图中,增益裕量就是从原点O到C点距离的倒数。 开环增益增大增益裕量(1/OC)倍之后,将导致曲线刚好通过-1 点。 采用同样的方式,图中的角度ψ就是相角裕量。 这也刚好是使曲线刚好通过-1点所需的额外的负相移量

3 考虑如下曲线 G j ( ) ω 曲线与负实轴的交点标为 C，因此G j ( ) ω 在 C 点的相角为 −180o 。在该图中，增益裕量就是从原点 O 到 C 点距离的倒数。 开环增益增大增益裕量（1/OC ）倍之后，将导致曲线刚好通过-1 点。 采用同样的方式，图中的角度φ 就是相角裕量。 这也刚好是使曲线刚好通过-1 点所需的额外的负相移量

多大的增益裕量可以使系统具有良好的性能呢?为获得一些主 意,我们可以计算在相角等于-180°点的闭环响应的模,即为增益裕 量函数。由下图可知 在G(o)的相角为-180时所对应的a值,我们可以马上获得如下 计算闭环响应的幅值的方程, 下图描述了该方程 IGG+l at-180 Degrees of Phase Shift, for Various Gain Margins -5 Gain Margin(db) 注意:在增益裕量低于5db时,闭环响应幅值增长得很快,导致 在闭环响应中岀现了谐振峰值。因此,我们期望的增益裕量值应高于 5db

4 多大的增益裕量可以使系统具有良好的性能呢？为获得一些主 意，我们可以计算在相角等于−180o 点的闭环响应的模，即为增益裕 量函数。由下图可知 在G j ( ) ω 的相角为−180o 时所对应的ω 值，我们可以马上获得如下 计算闭环响应的幅值的方程， 下图描述了该方程 注意：在增益裕量低于 5db 时，闭环响应幅值增长得很快，导致 在闭环响应中出现了谐振峰值。因此，我们期望的增益裕量值应高于 5db

现在考虑下图 奈奎斯特图上的B点是G(ω)的模恰好等于1的点。因此三角形 OAB是等腰三角形,且其两腰长度都为1,因此 这样,在G(jo)的幅值刚好等于1时所对应的频率上,闭环响应 的模是 下图描述了该函数 GG+ll at IG Various Phase Margins 注意:当相角裕量小于30度时,闭环响应的幅值增长很快,将 导致在闭环响应中出现谐振峰值。因此,我们期望相角裕量值应当大 于30度

5 现在考虑下图 奈奎斯特图上的 B 点是G j ( ) ω 的模恰好等于 1 的点。因此三角形 OAB 是等腰三角形，且其两腰长度都为 1，因此 这样，在G j ( ) ω 的幅值刚好等于 1 时所对应的频率上，闭环响应 的模是 下图描述了该函数 注意：当相角裕量小于 30 度时，闭环响应的幅值增长很快，将 导致在闭环响应中出现谐振峰值。因此，我们期望相角裕量值应当大 于 30 度

例一 回顾 Willcox教授用来阐述运用超前校正装置设计控制系统时的 例子,该系统的传递函数是 且闭环系统的方框图是 她所设计的超前校正装置是 我们希望对校正前和校正后系统的增益裕量和相角裕量进行比 较。对于未校正的系统,G(s)是纯增益

6 例— 回顾 Willcox 教授用来阐述运用超前校正装置设计控制系统时的 例子，该系统的传递函数是 且闭环系统的方框图是—— 她所设计的超前校正装置是—— 我们希望对校正前和校正后系统的增益裕量和相角裕量进行比 较。对于未校正的系统， ( ) G s c 是纯增益

两个系统在前向通道中都存在一个积分环节,因此它们都是Ⅰ型 系统。为了进行公平的比较,我们对两个系统给定相同的速度误差系 数。这样,未校正的系统增益选为29.8,因此未校正的系统的开环传 递函数如下 下图为校正前后系统在-1点附近的奈奎斯特图。 正如我们所看见的,两个系统都具有极大的增益裕量,但是未校 正系统的相角裕量仅为21度,而Wlox教授设计的系统相角裕量 为4度。结果,未校正系统的谐振峰值约为9db(M=28),而校正 后的系统得谐振峰值约为2.5db(M=1.3)

7 两个系统在前向通道中都存在一个积分环节，因此它们都是Ⅰ型 系统。为了进行公平的比较，我们对两个系统给定相同的速度误差系 数。这样，未校正的系统增益选为 29.8，因此未校正的系统的开环传 递函数如下 下图为校正前后系统在-1 点附近的奈奎斯特图。 正如我们所看见的，两个系统都具有极大的增益裕量，但是未校 正系统的相角裕量仅为 21 度，而 Willcox 教授设计的系统相角裕量 为 44 度。结果，未校正系统的谐振峰值约为 9db（M=2.8），而校正 后的系统得谐振峰值约为 2.5db（M=1.3）