麻省理工学院：《自动控制原理》课程教学资源（课件讲义）第16讲 可控性

16.06第16讲 可控性 John deyst 2003.10.9 今天的主题: 1、可控和不可控系统的简单实例 、可控性的定义 3、对于标量输入的可控性条件

1 16.06 第 16 讲 可控性 John Deyst 2003.10.9 今天的主题： 1、可控和不可控系统的简单实例 2、可控性的定义 3、对于标量输入的可控性条件

可控性的基本概念是指我们能够利用输入u()使状态x()达到状 态空间的任意点,主要问题是该系统的结构能否使这一点成为可能 让我们看一些简单的例子来激发我们的讨论 飞行器直线飞行的例子 我们进行系统建模,选择沿路径飞行的距离作为状态x,其导数 (沿路径的速度)为x2,输入是沿此路径的加速度。 如果输入为零,则状态空间轨迹是一条直线(沿路径的速度是常 数)

2 可控性的基本概念是指我们能够利用输入u t( ) 使状态 x( )t 达到状 态空间的任意点，主要问题是该系统的结构能否使这一点成为可能， 让我们看一些简单的例子来激发我们的讨论。 飞行器直线飞行的例子 我们进行系统建模，选择沿路径飞行的距离作为状态 1 x ，其导数 （沿路径的速度）为 2 x ，输入是沿此路径的加速度。 如果输入为零，则状态空间轨迹是一条直线（沿路径的速度是常 数）

输入直接影响速度x2,并且也间接改变它的积分值x。例如,如 果输入是恒值, 因此,控制能够驱动状态从初始状态x(0),x2(0)到任意末态 x(T),x2(T)。更进一步地说,此过程可以在任意特定的时间T内完成 这样的系统就是可控的 K行器直线飞行的第二个例子 现在假定存在一股盛行的风且为恒值,风的速度是该问题中的另 一个状态量

3 输入直接影响速度 2 x ，并且也间接改变它的积分值 1 x 。例如，如 果输入是恒值， 因此，控制能够驱动状态从初始状态 1 2 x x (0), (0) 到任意末态 1 2 x ( ), ( ) T xT 。更进一步地说，此过程可以在任意特定的时间 T 内完成， 这样的系统就是可控的！ 飞行器直线飞行的第二个例子 现在假定存在一股盛行的风且为恒值，风的速度是该问题中的另 一个状态量

现在我们有 沿路径的速度不再是x2,而是x2与x之和。 现在,我们的状态空间是三维的,然而,控制作用仅仅能够影响 x和x2,而不能影响x3,我们无法控制风速 我们限制在x1()=x30)的平面内

4 现在我们有 沿路径的速度不再是 2 x ，而是 2 x 与 3 x 之和。 现在，我们的状态空间是三维的，然而，控制作用仅仅能够影响 1 x 和 2 x ，而不能影响 3 x ，我们无法控制风速。 我们限制在 3 3 xt x ( ) (0) = 的平面内

缺乏可控性使得我们不能同时分别对空速和相对于地面的速度 进行控制,我们只能够控制其中之一,而不能同时控制两个。这一点 对于飞行器的着陆和起飞尤其重要,也经常出现在飞机进入云层时 以使得在给定对地速度时空速达到最大。 掌握了这几个例子之后,我们对可控性进行定义。 可控性定义 系统 是可控的,当且仅当存在一个控制作用(),可以使得系统的状态在 一个特定的时间T内从任意初始状态x0)转移到任意末态x(T)。 现在我们可以得到x()解的一般形式

5 缺乏可控性使得我们不能同时分别对空速和相对于地面的速度 进行控制，我们只能够控制其中之一，而不能同时控制两个。这一点 对于飞行器的着陆和起飞尤其重要，也经常出现在飞机进入云层时， 以使得在给定对地速度时空速达到最大。 掌握了这几个例子之后，我们对可控性进行定义。 可控性定义 系统 是可控的，当且仅当存在一个控制作用u(t)，可以使得系统的状态在 一个特定的时间 T 内从任意初始状态 x(0)转移到任意末态 x( ) T 。 现在我们可以得到 x( ) T 解的一般形式

看起来好像 由于x(T)可以位于空间的任意位置,对于可控性而言,它必须可 以进行卷积积分 以达到空间中的任意点。首先考虑 情况1:(0)是标量 如果v()是标量,则矩阵B仅有一列,记作

6 看起来好像 由于 x( ) T 可以位于空间的任意位置，对于可控性而言，它必须可 以进行卷积积分， 以达到空间中的任意点。首先考虑 情况 1：u t( )是标量 如果u t( )是标量，则矩阵 B 仅有一列，记作

而且,我们知道状态转移矩阵是一个矩阵指数,因此 且卷积积分变成 现在,我们定义如下标量

7 而且，我们知道状态转移矩阵是一个矩阵指数，因此 且卷积积分变成 现在，我们定义如下标量

因此 这刚好是一个向量和。如果对等式左边进行积分能够达到空间的 任意点,则向量序列 必定可充满整个n维向量空间。为保证可控性,在该序列中必须能找 到至少n个线性无关的向量。让我们再回过头来看看前面的例子。 无风时的飞行器 因此,b和Ab是两个线性无关的向量,因此它们充满二维状态空 间,且系统是可控的

8 因此 这刚好是一个向量和。如果对等式左边进行积分能够达到空间的 任意点，则向量序列 必定可充满整个 n 维向量空间。为保证可控性，在该序列中必须能找 到至少 n 个线性无关的向量。让我们再回过头来看看前面的例子。 无风时的飞行器 因此，b和 Ab 是两个线性无关的向量，因此它们充满二维状态空 间，且系统是可控的

现在,让我们来考虑另外一个例子 有风时的飞行器 对于三维空间,我们仅有两个线性无关的向量,系统是不可控的

9 现在，让我们来考虑另外一个例子 有风时的飞行器 对于三维空间，我们仅有两个线性无关的向量，系统是不可控的