麻省理工学院：《自动控制原理》课程教学资源（课件讲义）第18讲 可控性（续）

16.06第18讲 可控性(续) John deyst 2003.10.16 今天的主题: 1、多输入系统的可控性 2、举例

1 16.06 第 18 讲 可控性（续） John Deyst 2003.10.16 今天的主题： 1、多输入系统的可控性 2、举例

在很多存在多输入的情况下,我们可以得出与标量输入相类似的 结果。正如以前我们试图将状态转移到状态空间中的任意位置,现在 控制量是多维向量u(),要使系统可控,u(1)必须在时间T内将积分 项 转移到状态空间中的任意点。与上次相似,我们定义向量 因此积分变成

2 在很多存在多输入的情况下，我们可以得出与标量输入相类似的 结果。正如以前我们试图将状态转移到状态空间中的任意位置，现在 控制量是多维向量u t( ) ，要使系统可控，u t( ) 必须在时间 T 内将积分 项 转移到状态空间中的任意点。与上次相似，我们定义向量 因此积分变成

让我们考虑第一项 这是B矩阵其它各列的线性组合,对于第二项也是类似的 这是AB矩阵其它各列的线性组合

3 让我们考虑第一项 这是 B 矩阵其它各列的线性组合，对于第二项也是类似的 这是 AB 矩阵其它各列的线性组合

将这种分析扩展到其余各项,我们总结出n维向量可以用积分形 式表示如下 是矩阵各列的线性组合吗? 因此,如果系统是可控的,B,AB,A2B,中必定存在n个线性无关 的列。换句话说,可控性要求B,AB,AB中的各列必须充满整个状态 空间。 这表明这些矩阵当中,仅有n列是必要的,因此我们可得可控的 一般条件如下: 可控性条件:由矩阵A,B表示的系统是可控的,当且仅当可控 性矩阵

4 将这种分析扩展到其余各项，我们总结出 n 维向量可以用积分形 式表示如下 是矩阵各列的线性组合吗？ 因此，如果系统是可控的， 2 B, , ,... AB A B 中必定存在 n 个线性无关 的列。换句话说，可控性要求 2 B, , ,... AB A B 中的各列必须充满整个状态 空间。 这表明这些矩阵当中，仅有 n 列是必要的，因此我们可得可控的 一般条件如下： 可控性条件：由矩阵 A，B 表示的系统是可控的，当且仅当可控 性矩阵

具有n个线性无关的列

5 具有 n 个线性无关的列

一个不是很明显的例子 在一个无摩擦表面上的三个质子 系统是静止的 该系统的微分方程是 我们定义如下状态

6 一个不是很明显的例子 在一个无摩擦表面上的三个质子 系统是静止的 该系统的微分方程是 我们定义如下状态

则,由原始的微分方程我们可以得到 现在,为了便于计算,我们选择 因此

7 则，由原始的微分方程我们可以得到 现在，为了便于计算，我们选择 因此

向量矩阵微分方程变成 现在我们需要检验 其中

8 向量/矩阵微分方程变成 现在我们需要检验 其中

现在 并且我们很容易发现AB是AB的两倍,AB是AB的两倍等等, 因此我们不可能在可控性矩阵中找出6个线性无关的列向量,仅有4 列,因此系统是不可控的 研究该系统的一种方法是考虑它的振荡方式。我们可以把质子的 运动分为对称和不对称振荡两种方式,且振荡频率相同。对称方式下 它们朝相同的方向运动;不对称方式下它们朝相反的方向运动。对称 方式是可控的,而不对称模式是不可控的

9 现在 并且我们很容易发现 6 A B是 4 A B的两倍， 7 A B是 5 A B 的两倍等等， 因此我们不可能在可控性矩阵中找出 6 个线性无关的列向量，仅有 4 列，因此系统是不可控的。 研究该系统的一种方法是考虑它的振荡方式。我们可以把质子的 运动分为对称和不对称振荡两种方式，且振荡频率相同。对称方式下 它们朝相同的方向运动；不对称方式下它们朝相反的方向运动。对称 方式是可控的，而不对称模式是不可控的

现在假设我们增加另一个控制方式,对其中一个质子施加一个外 力 A矩阵不变,而B矩阵变为 标有*号的六个向量是线性无关的,因此系统是可控的

10 现在假设我们增加另一个控制方式，对其中一个质子施加一个外 力。 A 矩阵不变，而 B 矩阵变为 标有*号的六个向量是线性无关的，因此系统是可控的