麻省理工学院：《自动控制原理》课程教学资源（课件讲义）第6讲 S平面,极点和零点

16.06第6讲 S平面,极点和零点 Karen willcox 2003.9.15 今天的主题 1、极点和零点 、暂态响应和拉普拉斯逆变换 3、留数的图解确定法 阅读:1.7(从第14页上端开始),1.8,1.9

1 16.06 第 6 讲 S 平面，极点和零点 Karen Willcox 2003.9.15 今天的主题 1、极点和零点 2、暂态响应和拉普拉斯逆变换 3、留数的图解确定法 阅读：1.7（从第 14 页上端开始），1.8，1.9

1S平面 我们可得 C(S=G(SR(S) 其中C,G和R是关于s的多项式的分式,即:G)=mm 考虑到如下定义: ●C,G和R的零点 C,G和R的极点 系统的零点和极点 系统的特征多项式 ●系统的特征方程 特征方程的特征根 由于多项式的系数是实数,则极点和零点是

2 1 S 平面 我们可得： Cs GsRs () () () = 其中 C，G 和 R 是关于 s 的多项式的分式，即： ( ) numG G s denG = 。 考虑到如下定义： z C，G 和 R 的零点 z C，G 和 R 的极点 z 系统的零点和极点 z 系统的特征多项式 z 系统的特征方程 特征方程的特征根 由于多项式的系数是实数，则极点和零点是

在复平面上s(σ+jo)上画出极点和零点。 例 设R(S)=一,则C(s)=R(s)G()的零极点形式就是R(S)和G(s) 形式的叠加 C(S) K(S+2) s(S+4)

3 在复平面上s j ( ) σ + ω 上画出极点和零点。 例： 设 1 R s( ) s = ，则Cs RsGs () () () = 的零极点形式就是 R s( )和G s( ) 形式的叠加： ( 2) ( ) ( 4) K s C s s s + = +

2暂态响应和拉普拉斯逆变换 问题:给定C(s)的零极点图,如何获得c()? 回答:进行拉普拉斯逆变换 (a)如果C(s)形式简单,可以查表获得 如果C(s)形式很复杂,我们可以使用部分分式展开法(PFE) 例: (b)这里还有一种可供选择的方法,在今后会很有用

4 2 暂态响应和拉普拉斯逆变换 问题：给定C s( )的零极点图，如何获得c t( )？ 回答：进行拉普拉斯逆变换 (a) 如果C s( )形式简单，可以查表获得 如果C s( )形式很复杂，我们可以使用部分分式展开法（PFE）。 例： (b) 这里还有一种可供选择的方法，在今后会很有用

3留数的图解确定法(实极点) (a)部分分式展开法当中的典型因子是 (a是正数,b是负数) 我们可以写出 其中b-(-a)是 因此在S平面中

5 3 留数的图解确定法（实极点） (a) 部分分式展开法当中的典型因子是 （a 是正数，b 是负数） 我们可以写出 其中b a − −( ) 是 因此在 S 平面中：

(b)在上例中,K1的一般表示形式为 (c)使用实际值,可得: 且对于K2 (d)因此,如前所示

6 (b) 在上例中，K1的一般表示形式为 (c) 使用实际值，可得： 且对于K2： (d) 因此，如前所示 1 1 4 () ( ) 2 2 t ct K e− = +

4根轨迹增益(vdv第20页) 定义:一个变换或者一个传递函数的根轨迹增益是分子和分母多 项式中,s的最高次幂的系数为1的结果。 举例说明 0.5s+1 2(0.5) +2 C(s)=2 (S+3)(0.1s+1)0.1(s+3)(s+10) 则根轨迹增益是2(0.5/0.1)=10 回顾K,K2和K3的表达式,揭示了如下的一般规律。 图解留数规则:C(s)的极点-p的留数K,等于根轨迹增益乘以 C()中所有零点对应于-p的矢量乘积,再除以C(s)的所有除-p以外 的极点对应于-P2的矢量乘积

7 4 根轨迹增益（vdv 第 20 页） 定义：一个变换或者一个传递函数的根轨迹增益是分子和分母多 项式中，s 的最高次幂的系数为 1 的结果。 举例说明 0.5 1 2(0.5) 2 () 2 ( 3)(0.1 1) 0.1 ( 3)( 10) s s C s s s ss + + = = + + ++ 则根轨迹增益是 2（0.5/0.1）=10 回顾 1 2 K K, 和K3的表达式，揭示了如下的一般规律。 图解留数规则：C s( ) 的极点 i − p 的留数 Ki 等于根轨迹增益乘以 C s( )中所有零点对应于 i − p 的矢量乘积，再除以C s( )的所有除 i − p 以外 的极点对应于 i − p 的矢量乘积