麻省理工学院：《自动控制原理》课程教学资源（课件讲义）第28讲 映射（Cauchy）定理

1606第28讲 映射( Cauchy)定理 2003.11.12 今天的主题: 1、D型围线 2、定理 3、G(s)+1的零点



    



 
 


通过考虑s平面内的D型围线,可以获得一种重要的并且很有用 的控制系统的设计方法。D型围线如下所示: 注意到该曲线的垂直部分穿越了整个虚轴,这也正是我们所知的 G(s)平面上的系统的频率响应。譬如,考虑一阶系统,它具有一个左 半平面的极点 s-(-2)项是从极点-2到平面上s点的向量,传递函数的极坐标形 式变成


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因此,如果在s平面内我们沿着D型围线,将可以映射得到一条 G(s)曲线 注意:G(s)曲线丕不包围坐标原点。实际上,如果左半平面内有N 个极点,那么就会有N个环,但所有的环都不会包围坐标原点。 现在,我们来考虑一个系统,它只有一个极点,且位于右半平面。 因此 注意:G(s)曲线是一个逆时针包围坐标原点的环。如果有N个极 点位于右半平面,那么G(s)曲线将是N个逆时针包围坐标原点的围 线

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如果在左半平面上存在一个零点,那么 D型围线只是向右移动+2个单位 并且曲线不包围坐标原点。 相反,如果零点在右半平面的话,那么 则D型围线将向左移动-2个单位 (s)曲线是一条顺时针围绕坐标原点的环。如果G()有N个零 点位于右半平面,那么将有N个顺时针包围坐标原点的环

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G(s)曲线的这些环绕特性可以总结成一条重要的数学定理,并已 被著名的法国数学家 Cauchy证明。它称为映射定量。 G()的映射定理——如果G(s)函数在顺时针的D型围线内有Z个 零点和P个极点,则相应的G(s)曲线顺时针方向包围坐标原点 N=Z-P周。 而且,如果我们在右半平面内将D型围线扩展到无穷远处,对 于整个右半平面内的所有极点和零点,我们可以求出N。 现在讲了这么多,却没有告诉我们任何关于控制系统设计的内 容,我们仍然不知道是否已知G(s)。特别地,我们可以很容易地对G(s) 的分子和分母进行因式分解,以获得它的极点和零点,这样我们马上 应能知道Z和P,并计算出N。 那么,这到底有什么用呢? 好的,让我们来考虑闭环系统,如果我们用单位反馈使G(s)闭环 的话,就可以获得闭环传递函数 为了研究该闭环系统,我们感兴趣的就是它的极点和零点。该闭 环系统的极点和零点是什么呢?

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G()的极点是Ga(s)的极点吗? G()的零点是Ga(s)的极点吗? G(s)+1的极点是Ga(s)的极点吗? G(s)+1的零点是Ga2(s)的极点吗? 总结,我们有 G(s)的零点是Ga(s)的零点 G(s)+1的零点是Ga(s)的极点 因此,我们需要找出G(s)+1的零点。特别是为了研究闭环系统的 稳定性,我们感兴趣的是G(s)+1的是否有零点位于右半平面,因为 G()+1若有零点位于右半平面就意味着Ga(s)的极点位于右半平面

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之前我们研究了跟踪右半平面的D型围线而获得的G(s)曲线,并 且能够识别出D型围线内右半页面的极点和零点数。然而,现在我 们对G(s)+1感兴趣,但是如果我们已知G(s)曲线,就能很容易地获得 G(s)+1曲线,只需简单地将G(s)曲线向右移动+1个单位,这与将坐标 原点向左移动一个单位是相同的 因此,我们有— ()+1的映射定理——如果G(s)+1函数在顺时针D型围线内有Z 个零点和P个极点,则相应的G(s)曲线将顺时针方向包围-1点 P周 因此,如果我们将D型围线扩展到无穷远处,并绘制出G(s)曲线 则顺时针围绕-1点的周次为N,即为右半平面内G(s)+1的多于极点的 零点数。由于我们已知P(G(s)在右半平面内的极点数),我们就能 够知道z(G(s)+1在右半平面内的零点数) Z=N+P 这也是G()+1在右半平面内的极点数

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最后,我们有一 奈奎斯特( Nyquist)稳定判据—一当且仅当z=N+P=0时,其 中N是顺时针包围-1点的周数,P是开环传递函数在右半平面内的极 点数(拉普拉斯变换象函数的不稳定极点),反馈控制系统是稳定的。 举例一

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