麻省理工学院：《自动控制原理》课程教学资源（课件讲义）第21讲 根轨迹规则

16.06第21讲 根轨迹规则 Karen willcox 2003.10.23 今天的主题: 角条件和模条件 2、根轨迹规则 阅读:6.1,62,6.3

1 16.06 第 21 讲 根轨迹规则 Karen Willcox 2003.10.23 今天的主题： 1、角条件和模条件 2、根轨迹规则 阅读：6.1，6.2，6.3

1角条件和模条件 回顾上一讲我们所学过的,闭环特征方程是 GGH+l=0 G GH=-1 K (s+a1)(S+a2)…(s+an) (s+b)S+b2)…(S+bn) 闭环极点是对于s值,向量GGH满足条件:模为1且相角为 ±(2n+l)l80°。向量GGH可以用图解法来计算,通过考虑合适的因式 s+a1和+b2的乘积 1、角条件 2、模条件 注意:如果没有开环零点,A可以取为

2 1 角条件和模条件 回顾上一讲我们所学过的，闭环特征方程是 1 0 G GH c + = 1 G GH c = − 1 2 1 2 ( )( ) ( ) 1 ( )( ) ( ) m n sasa sa K sbsb sb ++ + = − ++ + L L 闭环极点是对于 s 值，向量G GH c 满足条件：模为 1 且相角为 ± + (2 1)180 n o 。向量G GH c 可以用图解法来计算，通过考虑合适的因式 i s a + 和 k s b + 的乘积。 1、角条件 2、模条件 注意：如果没有开环零点， Ai可以取为 1

2角条件和模条件的应用 我们看到这需要分两个阶段进行: I(a)在s平面的根轨迹上选择(猜测)一个试验点 (b)检查角条件 (c)可能不正确——继续移动该点直到它是一个闭环特征根 (d)重复此过程直到完成根轨迹 ∏选择一个期望的闭环特征根,并计算相应的K值

3 2 角条件和模条件的应用 我们看到这需要分两个阶段进行： Ⅰ (a) 在 s 平面的根轨迹上选择（猜测）一个试验点 (b) 检查角条件 (c) 可能不正确——继续移动该点直到它是一个闭环特征根 (d) 重复此过程直到完成根轨迹 Ⅱ 选择一个期望的闭环特征根，并计算相应的 K 值

3规则1 对K=0,闭环极点和开环极点相同。 见第20讲中的例子。 4规则2 对K→∞,闭环极点接近于开环零点

4 3 规则 1 对 K=0，闭环极点和开环极点相同。 见第 20 讲中的例子。 4 规则 2 对 K → ∞ ，闭环极点接近于开环零点

5规则3 根轨迹的分支数等于开环极点数

5 5 规则 3 根轨迹的分支数等于开环极点数。 z z z

6规则4 如果开环极点数比零点数多的话,那些没有零点的分支将沿着渐 近线趋向无穷远处。渐近线的条数等于开环极点数减去开环零点数。 G.GH=K(s+5) (S+1)(S+2) 由角条件可知

6 6 规则 4 如果开环极点数比零点数多的话，那些没有零点的分支将沿着渐 近线趋向无穷远处。渐近线的条数等于开环极点数减去开环零点数。 ( 5) ( 1)( 2) c s G GH K s s + = + + 由角条件可知： z z z z

7规则5 渐近线的方向可由角条件得出,渐进线的夹角a满足 Qs±(2i+1)80 i为任意整数,n为极点数,m为零点数。 考虑以前的例子

7 7 规则 5 渐近线的方向可由角条件得出，渐进线的夹角α 满足 (2 1)180 i n m α ± + = − o i为任意整数，n为极点数，m 为零点数。 考虑以前的例子：

8规则6 所有的渐近线与实轴交于一点,该点距离原点P P0= (sum of Ol poles)-(sum of OL zeroes) sum of ol poles:开环极点之和 sum of OL zeroes:开环零点之和

8 8 规则 6 所有的渐近线与实轴交于一点，该点距离原点ρ0 0 ( )( ) sum of OL poles sum of OL zeroes n m ρ − = − sum of OL poles ：开环极点之和 sum of OL zeroes ：开环零点之和

9规则7 由于复数开环极点和零点是共轭对,根轨迹关于实轴对称。 我们已经知道这一点…… 10规则8 实轴上的根轨迹,其右侧的开环零、极点的总数是奇数 之前我们已经了解这一点… 11规则9 在实轴上可能存在分离点或者会合点……然而,通常我们对于这 些点的精确位置并不感兴趣,只需要大概的估计就可以了。 如果没有其它的零点和极点相互靠近的话,分离点将位于半路 上。极点趋向于排斥分离点,而零点趋向于吸引分离点

9 9 规则 7 由于复数开环极点和零点是共轭对，根轨迹关于实轴对称。 我们已经知道这一点…… 10 规则 8 实轴上的根轨迹，其右侧的开环零、极点的总数是奇数。 之前我们已经了解这一点…… 11 规则 9 在实轴上可能存在分离点或者会合点……然而，通常我们对于这 些点的精确位置并不感兴趣，只需要大概的估计就可以了。 如果没有其它的零点和极点相互靠近的话，分离点将位于半路 上。极点趋向于排斥分离点，而零点趋向于吸引分离点

12规则10 开环极点的分离角和开环零点的会合角是很重要的,因为航空/ 航天工具都存在离虚轴ja很近的复数共轭极点和零点。我们可以利 用角条件,通过在开环零、极点附近取试验点来确定分离角和会合角 例1: 例2:

10 12 规则 10 开环极点的分离角和开环零点的会合角是很重要的，因为航空/ 航天工具都存在离虚轴 jω 很近的复数共轭极点和零点。我们可以利 用角条件，通过在开环零、极点附近取试验点来确定分离角和会合角。 例 1： 例 2：