麻省理工学院：《自动控制原理》课程教学资源（课件讲义）第11讲 状态空间

16.06第11讲 状态空间 John deyst 2003.929 今天的主题 1、系统状态的概念 、状态向量的定义 3、线性时不变(LT,定常)系统的状态空间表示



     


  


采用线性向量空间方法可建立系统的状态空间模型。 状态向量(数组)这一概念很重要,因为它能够完全表示一个系 统的当前状况(状态)。 例:一个电容器 状态的定义有很多方法,电荷q或电压v都可作为状态量。如果 选择ν作为状态量,则建立起了电容器性能与状态行为之间的关系。 对于一个简单的电路系统

   !"#  $%&'()*+,-./01'2 345# 67'289: ;(8? @A, #BC DE A, F GH89:.IJ,KL# MN'2OP8Q

我们能够构造两个关系 因此系统的方程为 系统方程的解为 式中v(1)是系统的状态

 RS./TUV2L +WX, XY, Z[  \#

更进一步地,如果我们知道任一特定时刻的状态,那么我们就 会知道所有未来时刻的状态。 如果系统没有输入量(齐次系统),那么状态量是足以预测系统 未来的整个行为的。 定义系统状态向量

]^'_`BCRSabc'de  fgRSh iabj;kle# BCm;no pqfg \rstu klv2J,# 

我们定义状态向量为x(1) 通常情况下,系统仍然具有输入()和输出y) 正如我们之前提过很多次的,在这门课程中我们将仅仅研究线性 时不变(L∏,定常)系统。任何线性定常系统的特征都可以由四个 常数矩阵A,B,C和D决定,如下所示

RS ,  wx5yz{|;no }n~  BRSK4€(<q‚&ƒ„X[RS…††‡ˆ  #c‰ dŠ@s‹Œ2 $Ž   }  Byj#

用框图表示为 其中 二阶系统的一个简单的例子 外力∫作为输入量,输出量是质子相对于其静止位置的位移d(d

 ‘, ’[ '2OP6•  A,no n~ \•™MN’š›œœž  Ÿ#

利用牛顿力学定理(F=ma可得系统的微分方程是, 这是一个二阶系统,因此我们需要两个状态量。选择 我们需要这两个状态量对时间的导数。 因此,我们可以写出向量/矩阵方程

  ¡¢£¤ Ÿ¥¦§X\ &\'2+WRS¨*V2 #DE RS¨*&V2 M©$# +WRSsª~ ŽX

而且,系统状态量的任意非奇异变换仍然是系统的状态。例如 假设n×n维矩阵T是状态x到新状态x的一个非奇异变换矩阵, 则 因此 如果我们定义 对于新状态的方程是

 «¬ c­®¯°±z{\#6B ²³
´Ž \  µ¶   '2®¯°±Ž F +W BCRS MN¶X\

类似地, 因此 并且因此 所以输入量、输出量与变换之前的输入量、输出量是一致的,但 是我们现在得到了变换后的状态x

 ·¸` +W ¹¬+W jsno
n~ I±K4no
n~ \'º» \RS¼‚¥µH±½   #