《固体物理学》课程教学课件（讲稿）第三章 晶格振动与晶体的热学性质 3.2 一维单原子链

0302一维单原子链晶格具有周期性，晶格的振动具有波的形式一一格波格波的研究1)先计算原子之间的相互作用力2)根据牛顿定律写出原子运动方程一一求解方程>模型：一维无限长的单原子链，原子间距(晶格常量)为a，原子质量为m

03_02 一维单原子链 晶格具有周期性，晶格的振动具有波的形式 —— 格波 格波的研究 1) 先计算原子之间的相互作用力 2) 根据牛顿定律写出原子运动方程 —— 求解方程 Ø 模型：一维无限长的单原子链，原子间距(晶格常量)为a，原 子质量为m

一维无限单原子链一原子质量m，平衡时原子间距a一原子之间的作用力n+2n-2n+1n-1n一一第n个原子离开平衡位置的位移 μnn-2n-1n+1n+2n第n个原子和第n十1个原子间的相对位移a+μn+I-μnn-1XCH003_001_01μn+1 -μn第n个原子和第n十1个原子间的距离α＋μn+1一μn

一维无限单原子链 —— 原子质量 m，平衡时原子间距 a —— 原子之间的作用力 —— 第n个原子离开平 衡位置的位移 n —— 第n个原子和第n＋1个 原子间的相对位移 n1  n 第n个原子和第n＋1个原子间的距离 a  n1  n

平衡位置时，两个原子间的互作用势能v(a)发生相对位移=μn+1-μn后，相互作用势能 v(α+)8? + High items+v(a+) = v(a) +dran-2n+1n+2n-1nv(a) 一—常数n+2n-2n+1n-1ndv=0——平衡条件dra+μn+I-μnn-lXCH003_00101E

2 2 2 1 ( ) ( ) a 2 a dv d v v a v a High items dr dr                     平衡位置时，两个原子间的互作用势能 v(a) 发生相对位移 后，相互作用势能 v(a  )   n1  n v(a) —— 常数 0 a dv dr        —— 平衡条件

（)v(a)+s? +Highv(αa+) =items简谐近似一一振动很微弱，势能展式中只保留到二阶项相邻原子间的作用力n+2n-2n-1n+1ndv-Bs2dsn+2n-2n+1n-1d?一恢复力常数dr2a+μn+I-μnn-1XCH003 001 01

简谐近似 —— 振动很微弱，势能展式中只保留到二阶项 dv f d   2 2 a d v dr         相邻原子间的作用力  —— 恢复力常数 2 2 2 1 ( ) ( ) 2 a d v v a v a High items dr            

原子的运动方程一一只考虑相邻原子的作用，第n个原子受到的作用力β(μn+1 -μn)-β(μn -μn-1) = β(μn+1 +μn-1 -2μnd"μn= β(μn+1 + μn-1 -2μn)第n个原子的运动方程mdt?n-2n+2n-1n+1n(n = 1, 2, 3..,N)一每一个原子运动方程类似n+2n-2ntI1-一方程的数目和原子数相同μn-1a+μn+I-μnXCH003_001_01

原子的运动方程 —— 只考虑相邻原子的作用，第n个原子受到的作用力 ( ) ( ) ( 2 )  n1  n   n  n1   n1  n1  n 第n个原子的运动方程 2 2 1 1 ( 2 ) ( 1, 2, 3 , ) n n n n d m dt n N             —— 每一个原子运动方程类似 —— 方程的数目和原子数相同

d'μn= β(μn+1 + μn-1 -2μn)方程解和振动频率mdt?,i(ot-nag)un = Ae设方程组的解naq一第n个原子振动相位因子μn-1 = Aei[ot-(n-1)ag]μn+1 = Aei[ot-(n+1)ag]得到-mの2 =β(eiaq +e-iaq -2)4βaq应用欧拉公式2sin0二倍角公式2mE

方程解和振动频率 ( 2 ) 2 1 1 2 n n n n dt d m           设方程组的解 i( t naq) n Ae     naq — 第n个原子振动相位因子 [ ( 1) ] 1 [ ( 1) ] 1 i t n aq n i t n aq n Ae Ae             ( 2) 2     iaq iaq 得到 m  e e 2 4 2 sin 2 aq m          应用欧拉公式 二倍角公式

格波的意义, = Aei(ot-nag)格波方程i(Ot-2元=)= Aei(ot-qx)y= Ae连续介质中的机械波2元波数9二元na2元i[ot-2元波长=(2元 /g)晶体中的格波u, = Aeq一格波和连续介质波具有完全类似的形式一一个格波表示的是所有原子同时做频率为の的振动5

i( t naq) n Ae     连续介质中的机械波 ( 2 ) ( ) x i t i t qx y Ae Ae         波数  2 q  格波方程  格波的意义 晶体中的格波 [ 2 ] (2 / ) na i t q n Ae       2 q    —— 格波和连续介质波具有完全类似的形式 —— 一个格波表示的是所有原子同时做频率为的振动 波长

un = Aei(ot-nag)简谐近似下，格波是简谐平面波一格波的波形图XCH00300102n-2n-1代表向上箭头n原子沿X轴向右振动n+1n+2代表向下箭头2元原子沿X轴向左振动4q

—— 格波的波形图 —— 简谐近似下，格波是简谐平面波 i( t naq) n Ae     向上箭头 —— 代表 原子沿X轴向右振动 向下箭头 —— 代表 原子沿X轴向左振动

格波方程 μ,=Aei(ot-nag)2元XCH003 001 02格波波长2=n-2qn-1n2元格波波矢nq=n+11n+202元格波相速度pqq不同原子间相差n'aq - naq = (n' -n)aq(n +1)aq -naq = aq相邻原子的相差

格波波长 i( t naq) n Ae     2 q    格波波矢 2 q n      格波相速度 q v p   不同原子间相差 naq  naq  (n  n)aq 格波方程 相邻原子的相差 (n 1)aq  naq  aq

格波 μ, = Aei(ot-nag)波矢的取值和布里渊区一一原子振动状态相同相邻原子相差至ag=2元+ag2元格波1的波矢q14a元2a?元相邻原子相差aq =XCH0030022

 波矢的取值和布里渊区 i( t naq) n Ae    格波  相邻原子相差 aq  2  aq —— 原子振动状态相同 格波1的波矢 1 2 4 2 q a a     相邻原子相差 1 2 aq   10/ 31