《固体物理学》课程教学课件（讲稿）第一章 晶体结构 1.4 倒格子

0104倒格子Lattice vector for two dimensions一一晶格具有平移对称性(周期性)，因而相应的只与位置有关的物理量具有周期性(格点等价性)，均应是晶格格矢R,的周期函数，如质d量密度、电子云密度、离子a[, =4 1,=3XCH001024实产生的势场等都是如此。F(r)= F(+RnL

01_04 倒格子 —— 晶格具有平移对称性 (周期性)，因而相应的只与 位置有关的物理量具有周期 性(格点等价性)，均应是晶 格格矢Rn的周期函数，如质 量密度、电子云密度、离子 实产生的势场等都是如此。 ( ) ( ) F n r  F r  R   

周期函数的傅里叶展开A(G)eiG.rF(r)=G因为: F(r)= F(＋R,)A(G)eiG.(r+R)A(G)eiGor -ZWo所以:GjG.Rn =1即:e:.G·R,=2元lI为整数E

F( ) ( ) iG r G r A G e         ( ) ( ) F n r  F r  R    因为： n ( ( ) = ( ) iG r iG r R G G A G e A G e               ） 所以： 即： n 1 iG R e     2 G Rn    l l   （ 为整数） 周期函数的傅里叶展开

还是の<0，都有2m " (x [ ' dF(0)=为复数形式的傅里叶积分表示式，（5.2.15）则是f（x）的成对称的形式：F(w)eia"dw,f(x)=/2元ma)dF()=为F(w)=[f(x)], f(x)=g[F()]称为傅里叶变换的原函数和像函数，附录一列出了部0G国X

（图1-1)代替直角坐标×和y，[p=Vx'+y,x=pcos,Ly=psinp[p=arctan（y/x);式或指数式，即食台 z=p（cosΦ+isin p），10z=pe，记作z称为该复数的辐角，记作Arg z.直不能唯一地确定，可以取无穷多个值，并且彼被其中满足条件5

已知格矢：R,=na +n,a2 +n,a(n,nz,n,为整数）设: G, = h,b, +h,b, +h,b（h,,h,，h,为整数）= 2元(i= j)令a,·b,=2元0j=0(i±j)则: G,R, =2元(h,n, +hn2 +hn)=2元le'GR =1

1 1 2 2 3 3 n Rn  n a  n a  n a     已知格矢： （ 1 2 3 n , ,n 为整数） G R 1 1 2 2 3 3 2 h ) 2 h n    n  h n  h n  l   则： （ 2 ( ) 2 0 ( ) i j ij i j i j          令a b G 1 1 2 2 3 3 h b b h h   h  h b     设： （ 1 2 3 h , ,h 为整数） n 1 h iG R e    

=2元(i= j)可知由 a,·b,=2元s(i±j)与b,平行b, 和a,,a,垂直,因此,a，xa,所以可令:b =ci(a2×aC两边同时点乘a·b =ca·(a xa)=2元2元2元: C = a·(a,xa,)原胞的体积22元(a xa)b =c(a xa)=2

2 ( ) 2 0 ( ) i j ij i j i j          由 a b 可知 a 2 , a3 垂直,因此，   1 b  和 2 3 a  a   1 b  与 平行 1 1 2 3 b  c (a  a )    所以可令： 两边同时点乘 1 a  1 1 1 1 2 3 a b c a (a a )  2      1 1 2 3 2 2 ( ) c a a a            2 3 1 1 2 3 2 ( ) ( ) a a b c a a             原胞的体积

根据原胞基矢定义三个新的矢量一一倒格子基矢量a,xasa,xaa, xa2b, = 2元b, =2元b, =2元a,·(a, xa,)a, ·(a, xa,)a, ·(a, xa,)2元2元2.7xa,ixa,dxa.0以bi,b2,b,为基矢构成一个倒格子G= hb, +h,b, +h,b倒格子每个格点的位置h,h,hy一倒格子矢量国

  2 3 1 1 2 2 3 3 2 2 ( ) = a a Ω       a a b a a a π           1 2 3 1 2 1 3 2 2 2 ( ) = a a Ω       a a b a a a π           3 1 2 1 2 3 3 1 2 ( ) = 2 a a Ω       a a b a a a π         根据原胞基矢定义三个新的矢量 —— 倒格子基矢量 以b1 , b2 , b3为基矢构成一个倒格子 倒格子每个格点的位置 1 2 3 h h h 1 1 2 2 3 3 G  h b  h b  h b     —— 倒格子矢量

一倒格子基矢量a xa倒格子基矢的性质b, = 2元a ·(a, xa,)a,xa= 2元(i=j)b, = 2元a,.b=2元8a, ·(a, xa,)11=0(i±j)a,xa2b, = 2元a (a xas)i, j=1, 2,3倒格子空间是正格子的倒易空间周期性函数可以展开为傅里叶级数E

2 3 1 1 2 3 3 1 2 1 2 3 1 2 3 1 2 3 2 ( ) 2 ( ) 2 ( )                a a b a a a a a b a a a a a b a a a                   倒格子基矢的性质 2 ( ) 2 0 ( ) i j ij i j i j          a b   i, j 1, 2, 3 —— 倒格子基矢量 —— 倒格子空间是正格子的倒易空间 —— 周期性函数可以展开为傅里叶级数

倒格子与正格子间的关系1)正格子原胞体积反比于倒格子原胞体积2元α = -(xb)(会)(a xa).[(a,xa)x(a xa)利用 A×(B×)= (A.)B-(A.B)C=0(axa)x(axa)=[(axa)aja-(axa).ala =Qa(2元)2元S10Q: Q(axa).Qa =一/一Q2?E

—— 倒格子与正格子间的关系 1) 正格子原胞体积反比于倒格子原胞体积   * Ω 1 2 3 b  b b     3 1  1 2  3 1 2 1  3 1 1 2 a a  a a [ a a a ]a [ a a a]a             利用 A  B  C   A  C B  A  BC =0   3 3 2 2 3 3 * 1 2π 2π (2 Ω Ω π) Ω a a a                            3 2 3 3 1 1 2 2π Ω a a a a a a                      Ω 1  a 

G正交2)正格子中一簇晶面（h,h,h.）和h,h,hGhbh = hb +hb, + hb,XCH001 047asa, .b, = 2元8,GhhhsCA=a, / h -a, / ha:hsa2BCB=a, / h2 -a, / hai2h2CaAai一可以证明hiG与晶面族正交Gmhg ·CA=0Gmhhs·CB=0h,h,h3B

2) 正格子中一簇晶面 (h1 h2 h3 ) 和 正交 1 2 3 Gh h h  2 i j ij a b    h1h2h3 1 1 2 2 3 3  G  h b  h b  h b     1 1 3 3 CA  a / h a / h    2 2 3 3 CB  a / h a / h    —— 可以证明 1 2 3 0 Gh h h CA    1 2 3 0 Gh h h CB    1 2 3 Gh h h  与晶面族正交