《固体物理学》课程教学课件（讲稿）第一章 晶体结构 1.5 晶体的对称性

对称美古语有云：“夫美者，上下、内外、大小、远近皆无害焉，故日美。”里里外外皆均衡妥帖，方为“美”。绝美的造物对称美学日

对称美 ——古语有云： “夫美者，上下、内外、大小、远近皆无害焉， 故曰美。 ”里里外外皆均衡妥帖，方为“美” 。 绝美的造物对称美学

0105晶体的宏观对称性一原子的周期性排列形成晶格不同的晶格表现出不同的宏观对称性对称性：经过某种动作后，晶体能够自身重合的特性。对称操作：使晶体自身重合的动作。对称素：对称操作所依赖的几何要素。晶体宏观对称性一一考察晶体在正交变换的不变性1.对称操作与线性变换经过某一对称操作，把晶体中任一点 X(x,x,,x）变为X(x,xz,x)可以用线性变换来表示。日

01_05 晶体的宏观对称性 —— 原子的周期性排列形成晶格 不同的晶格表现出不同的宏观对称性 晶体宏观对称性 —— 考察晶体在正交变换的不变性 1.对称操作与线性变换 ( , , ) X x1 x2 x3     经过某一对称操作，把晶体中任一点 变为 可以用线性变换来表示。 ( , , ) 1 2 3 X x x x 对称性：经过某种动作后，晶体能够自身重合的特性。 对称操作：使晶体自身重合的动作。 对称素： 对称操作所依赖的几何要素

x'xx2X'=X =X2X'= AXX3）梦X3r..x.aa2(13X(x,x,,xA=an1an2an3ag2ag33X2X1操作前后，两点间的距离保持不变，O点和X点间距与O点和X点间距相等，121212x+x2+x=x+x2+xE

2 3 2 2 2 1 2 3 2 2 2 1 x  x  x  x  x  x        3 2 1 x x x X            3 2 1 x x x X        31 32 33 21 22 23 11 12 13 a a a a a a a a A 操作前后，两点间的距离保持不变， ( , , ) X x1 x2 x3 ( , , ) 1 2 3 X x x x O x1 x3 x2 O点和X点间距与O点和 X 点间距相等。 X  AX

00001I=I为单位矩阵，即：001所以：A为正交矩阵，其矩阵行列式A=1。2.简单对称操作（旋转对称、中心反映、镜象、旋转反演对称(1)旋转对称（Cn，对称素为线）2元以后自身重合，则此轴称为n若晶体绕某一固定轴转n次（度）旋转对称轴。下面我们计算与转动对应的变换矩阵。E

I为单位矩阵，即：        0 0 1 0 1 0 1 0 0 I 所以：A为正交矩阵，其矩阵行列式 A   1 。 2.简单对称操作(旋转对称、中心反映、镜象、旋转反演对称) (1)旋转对称(Cn,对称素为线) 若晶体绕某一固定轴转 以后自身重合，则此轴称为n 次(度)旋转对称轴。 n 2π 下面我们计算与转动对应的变换矩阵

X3当0X绕0x转动角度0时，图中X'(x",x2,x§)X(xj,x,,x,)= X'(x,x’,x§)X(x,X,,x)090若OX在Ox2x平面上投影的长度为R，则X2xix=xx, = Rcos(o+g) = RcosO cos - Rsin sing= x, cosO - x, sinx; = Rsin(e+p) = Rsin cosp + Rcos sinp= x, sine + x, cos0话

当OX绕Ox1转动角度 时，图中 ( , , ) 1 2 3 X x x x ( , , ) X x1 x2 x3     若OX在Ox2x3平面上投影的长度为R，则 1 1 x  x   cos  x2 R  Rcos cos  Rsin sin  x2 cos  x3 sin   sin    x3 R  Rsin cos  Rcos sin  x2 sin  x3 cos ( , , ) X x1 x2 x3 ( , , ) X x1 x2 x3     O x1 x3 x2  

X00Xi02cosA-sineX20sinecosoXX3010A=0cosa-sinaR0sinecos晶体中允许有几度旋转对称轴呢？B'4设B,ABA,是晶体中某一晶面上的一个晶列，AB为这一晶00列上相邻的两个格点。BAB1A1G

                       3 2 1 3 2 1 0 sin cos 0 cos sin 1 0 0 x x x x x x                 0 sin cos 0 cos sin 1 0 0 A 晶体中允许有几度旋转对称轴呢? 设B1ABA1是晶体中某一晶 面上的一个晶列，AB为这一晶 列上相邻的两个格点。 A1 B A B 1   B A 

B'若晶体绕通过格点A并垂直于纸面的u轴逆时针转角后，B点转到B点，若此时晶格自身重合，B'处原0.0BAB1A1来必定有格点。若晶体绕通过格点B并垂直于纸面由于晶格的周期性的u轴顺时针转确角后，A点转到AA和B完全等价点，若此时晶格自身重合，A'处原来必定有格点。A'B是AB的整数倍，A'B = mAB = AB(1 + 2cos(π - 0)) = AB(1 - 2cos)m= 1-2cos0,-1≤coso≤1, -1≤m≤3m取值-1,0,1,2,3话

若晶体绕通过格点A并垂直于纸面 的u轴逆时针转角后，B点转到B’ 点，若此时晶格自身重合， B’处原 来必定有格点。 AB 是 AB 的整数倍， A1 B A B 1   B A  若晶体绕通过格点B并垂直于纸面 的u轴顺时针转角后，A点转到A’ 点，若此时晶格自身重合， A’处原 来必定有格点。 由于晶格的周期性， A和B完全等价

2元360°0=60°90°120°180°,n =1,2,3,4,6n2元A综合上述证明得：,n =1,2,3,4,6-n晶体中允许的旋转对称轴只能是1，2，3，4，6度轴236

1 2 3 4 6 2π  ,n  , , , , n θ 晶体中允许的旋转对称轴只能是1，2，3，4，6度轴。 综合上述证明得： 1 2 3 4 6 1 2 3 4 6 2π  ,n  , , , , n 60° 90° 120° 180° 360° θ

正五边形沿竖直轴每旋转720恢复原状，但它不能重复排列充满一个平面而不出现空隙。因此晶体的旋转对称轴中不存在五次轴，只有1，2，3，4，6度旋转对称轴(2)中心反演（i，对称素为点）取中心为原点，经过中心反演后，图形中任一点变为(-x,-x,,-x,)(xi,x,,x,)x-Xi00-1T-X200-1A=一001-X34

正五边形沿竖直轴每旋转720恢 复原状，但它不能重复排列充满一个 平面而不出现空隙。因此晶体的旋转 对称轴中不存在五次轴，只有1，2， 3，4，6度旋转对称轴。 (2)中心反演(i，对称素为点) 取中心为原点，经过中心反演后，图形中任一点 ( , , ) x1 x2 x3 ( , , ) 变为  x1  x2  x3                    3 2 1 3 2 1 x x x x x x           0 0 1 0 1 0 1 0 0 A A  1

(3)镜象(m，对称素为面)如以x;=0面作为对称面，，镜象是将图形的任何一点变为(x,x,,x)(x,x,,-x)X0013X2010A= -100x-X33(4)旋转--反演对称2元以后，再经过中心反演，晶体自若晶体绕某一固定轴转n身重合，则此轴称为n次(度)旋转--反演对称轴。E

(3)镜象(m，对称素为面) 如以x3=0面作为对称面，镜象是将图形的任何一点 ( , , ) x1 x2 x3 ( , , ) 变为 x1 x2  x3         0 0 1 0 1 0 1 0 0 A A  1                  3 2 1 3 2 1 x x x x x x (4)旋转-反演对称 若晶体绕某一固定轴转 以后，再经过中心反演,晶体自 身重合，则此轴称为n次(度)旋转-反演对称轴。 n 2π